数学II 円と直線

質問

数学II　円と直線の問題です。
途中まで挑戦してみましたがわかりませんでした。
ご解説をお願いいたします。
具体的な式を書いてくださるととても助かります。

問題
点P（A　,　B）を中心とする、半径Rの円（X－A）＾２＋（Y-B）＾２＝R^2がある。
点Pは、直線Y=－X－３　上にある。
この円が、放物線Y=X^2　と点Q（－２，４）で接しているとする。
このとき、点Qにおける共通接線の方程式を求めよ。
また、A,Bの値を求めよ。

やってみたこと
・PQが円の半径なので、
PQと共通接線は直交すると思った。
が、PQの傾きがわからず、計算にどう生かして良いかわからなかった。

・点P（A，B）は直線上の点なので、直線の式に座標を代入し点P（A、－A－３）としてみた。

・点P（A，B）はY=X^2上の点なので、放物線の式に座標を代入し点P（A、A^2）としてみた。

全く的をいていないようで、解答にたどりつけません・・・。

回答No.4

gon4 · ベストアンサー

共通接線を y = ax + b・・・・・・(1)　とおくと(-2,4)を通るから　b = 2a +4 より(1)式は
　　　　　　　　y = ax + (2a+4) ・・・・・(2)　　とおける
ここで　(2)は y = x^2 と接するので　x^2 -ax-(2a+4) = 0 の判別式＝０となる。から

a^2 + 4(2a+4) = 0 より　a = -4・・・・・・・(3)

　　　　　(2)から　(1)は　y = -4x -4 ・・・・・・・・・・・(4)

一方　円の中心（A,B)は　y = -x -3 上にあるから　B = -A-3より

　　　　　　　　　　中心は(A, -A-3) と書ける　　　　　
　　　　円の中心　と　Q点の傾きは　-4 x m' = -1 （公式）から　m' = 1/4

　　　　よって　円の中心とQ点を結ぶ線は　y = 1x/4 + c ・・・(5)　とおける

　　　　(5)　は (-2,4) を通るから代入すると　　c = 9/2 となり　(5)は

　　　　　　　　　　　　　　y = 1x/4 + 9/2 ・・・・・・・・・・・・(6)

　　　　これが(A,B) つまり　(A,-A-3) を通るから代入すると

　　　　A = -6, また　B = -A-3より　B ＝３　となりますが、

　　　　合っているでしょうか。微分を使わずに処理したけど

　　　　そろそろ、眠くなってきました。失礼します。

回答No.5

mister_moonlight

円：(x-a)＾2＋(y-b)＾2＝r＾2　上の点(α、β)における接線の方程式は、(α-a)*(x-a)＋(β-b)*(y-b)＝r＾2　で求めらる事は、教科書で学んているはずだ。
それを使ってみよう。

点(-1、4)を通る放物線の接線はmを定数として、y＝m(x+2)+4　だから、放物線y＝x＾2と連立してyを消去するとxの2次方程式になる。
これが重解を持つから　判別式＝0より　m＝-4　から、接線の方程式は　y＋4x+4＝0　‥‥(1)
また、円上の点(α、β)　但し、α＋β＝3　‥‥(2)　における接線は、(-2-α)*(x-α)＋(4-β)*(y-β)＝r＾2 だから、整理すると、(4-β)y-(α＋2)x＋(α＾2＋2α＋β＾2-4β-r＾2)＝0　‥‥(3)
(1)と(3)が同一直線から、おのおのの係数は比例する。
よって、(4-β)/1＝-(α＋2)/(4)＝(α＾2＋2α＋β＾2-4β-r＾2)/(4)になる。
これを解くと(2)を使い(α、β、r＾2)＝(-6、3、17)になる。

以上から、共通接線は　y＋4x+4＝0　で　円は　(x＋6)＾2＋(y-3)＾2＝17　になる。

回答No.3

puusannya

ＮＯ．２の続きです。
（－２，４）で放物線に接している直線の傾きをｍとすると
この直線は　ｙ＝ｍｘ＋２ｍ＋４
これが　ｙ＝ｘ＾２　に接しているから、連立させた時の解は1つ。
ｘ＾２＝ｍｘ＋２ｍ＋４　が重解を持つので
Ｄ＝０より　ｍ＝－４
よって　接線は　ｙ＝－４ｘー４

（－２，４）を通り接線に垂直な直線は
ｙ＝１／４ｘ＋９／２　
この直線と　ｙ＝－ｘ－３　との交点が　円の中心。
中心の座標は　（－６、３）　半径は√１７

となりますが計算違いがあればお許しください。

お礼

有難うございます。
微分は全く分からないので、テキストを先取りし「接戦の方程式」の部分だけ
チラ見してみました。
が、やはりわからず（当然ですね・・・。）、
早くきちんと学んで身につけたいなと思いました！
有難うございます。
微分学習後、またこちらの回答にお世話になり再度復習したいと思います。

回答No.2

puusannya

紛らわしいことを言って申し訳ありませんが、問題がよく読み取れないので困っているのです。
共通接線はＱで放物線に接しているんですよね。
だったら、円とは無関係に接線が求められませんか。
こんな解釈はできないのでしょうね。。

お礼

＞こんな解釈はできないのでしょうね。　

この一言の意図は？　　

それはそれとして、質問の内容ですが、放物線の接線を求める時に、もしかして微分積分を使うのですか？　

違ったら申し訳ありません。
未学習なので、放物線の接線について微分積分を用いる方法は使わず、お願いします。

回答No.1

alice_44

B = -A-3 としたのは良いことだ。

しかし、これだけで B は消去されてしまうから、
B = A^2 としてみたことには、あまり意味がない。

＞ この円が、放物線Y=X^2　と点Q（－２，４）で接している

という条件の使い方は、
円の X = -2 における Y と dY/dX の値がわかった
…とするのが良い。

X = -2 のとき Y = 4。
Y = X^2 の傾きは、dY/dX = 2X だから、
X = -2 のとき dY/dX = -4。

これを、(X-A)^2 + (Y+A+3)^2 = R^2 へ代入すればよい。
そのまま X = -2, Y = -4 を代入して一式。
両辺を X で微分してから X = -2, Y = -4, dY/dX = -4 を代入して
もう一式。
その二式を A と R の連立方程式として解けば、
円の方程式が求まる。

お礼

ありがとうございます。　

やっぱり微分(？)がベストなのでしょうが、微分積分は使わずお願いします。　dの意味もわからないのですが、微分につかう何かでしょうか。