期待値と無限等比級数の融合問題（多分）

質問

コインを投げ、表なら１００円を得てもう一度コインを投げる。
裏ならその時点でコインを投げるのを終わりにしこのようにして
裏が出るまでコインを投げつづける時の得られる金額の期待値は？

という問題なのですが、Ｎ番目で表が出る確率は（１／２）＾Ｎ
そしてその時もらえる金額は１００Ｎなのですから結局は

∞Σｎ＝１　１００Ｎ（１／２）＾Ｎ

を求めればよいと思うのですが方法が分かりません。
部分和を求めてからlimｎ→∞を取るのでしょうか？
回答お願いします

回答No.3

seven_triton · ベストアンサー

もらう金額が100N円であるのは，N回目まではずっと表が出て，N+1回目に裏が出たときなので，その確率は(1/2)^(N+1)です。(1/2)^Nではありません。だから期待値はΣ(N=0～∞)100N(1/2)^(N+1)です。

＞部分和を求めてからlimｎ→∞を取るのでしょうか？

その通りです。部分和は，S_n=Σ(N=0～n)100N(1/2)^(N+1)として，(1/2)*S_nを書き出してS_nと辺々引く，といった方法で求めます。この求め方は知ってますか？

S_n =100{1(1/2)^2 +2(1/2)^3 +.....+n(1/2)^(n+1)}
(1/2)S_n=100{ 1(1/2)^3 +.....+(n-1)(1/2)^(n+1)+n(1/2)^(n+2)}

辺々引いて，

(1/2)S_n=100{(1/2)^2 +(1/2)^3 +.....+(1/2)^(n+1)-n(1/2)^(n+2)}
=100{(1/2)(1-(1/2)^n) -n(1/2)^(n+2)}

よって
S_n=100{1-(1/2)^n-n(1/2)^(n+1)}

が部分和です。lim_(n→∞) n(1/2)^(n+1)=0なので，limS_n =100です。

別解として，「和の期待値は期待値の和」を用いる方法もあります。こっちの方がかなり楽です。
n回目にコインを投げたときにもらえる金額の期待値は，100*(1/2)^nですので，これをn=1から∞まで和を取ればいいのです。すぐに100円となります。

お礼

＞別解として，「和の期待値は期待値の和」を用いる方法もあります。
＞こっちの方がかなり楽です。
＞n回目にコインを投げたときにもらえる金額の期待値は，100*(1/2)^nですので，
＞これをn=1から∞まで和を取ればいいのです。すぐに100円となります。

では、試しに・・・。
初項が５０で項比が１／２ですよね？あぁすごいですね！！
暗算ですね！！ありがとうございました

回答No.5

seven_triton

＃４　もちろんその通りです！！
「和の期待値は期待値の和」は有限項の場合に対してだけ教科書には載っています。もちろんその両辺の極限を取ればよいのですが。

回答No.4

oshiete_goo

補足的アドバイス

seven_tritonさんご指摘の別解
＞「和の期待値は期待値の和」を用いる方法もあります。

が実は一番ラクで的確なアドバイスです．ただし今の場合, 有限項でなく無限項の和なので, 書くとき少し注意を要するところがあります. 先に有限のn項のときに
E(X1+X2+・・・+Xn)=E(X1)+E(X2)+・・・+E(Xn)=(計算結果)
などとやっておいてから, n→∞ としないと咎められる危険があると思われます.
[あるいは, 同じことですが, (期待値)=の式で,ずっとlimをつけたまま書き換えていって,最後にn→∞ とする.]
(皆様, 異論, 補足等あればお願いします.)

回答No.2

oshiete_goo

ちょうどｎ回(ｎ≧１)で終了する確率Pnは
(n-1)回表が続いた後，最後に裏が出て終了なので
Pn＝(1/2)^(n-1)・(1/2)=(1/2)^n

このとき得られる金額は100(n-1)円で，これらの結果はｎ≧１の全ての場合に成立．[P1のとき0円など]

すると期待値(期待金額)Eは
E=Σ(n=1 to ∞)100(n-1)Pn
=Σ(n=1 to ∞)100(n-1)(1/2)^n
=Σ(n=2 to ∞)100(n-1)(1/2)^n [n=1 のときは０より]
=Σ(k=1 to ∞)100k(1/2)^(k+1) [k=n-1]

ここでx≠1として，一般に
S=1+x+x^2+x^3+・・・+x^n={x^(n+1)-1}/(x-1)
上式の各辺をxで微分して
dS/dx=1+2x+3x^2+・・・+nx^(n-1)=[(n+1)x^n・(x-1)-{x^(n+1)-1}]/(x-1)^2
={nx^(n+1)-(n+1)x^n+1}/(x-1)^2
(この辺は自信なし．検算してください．)
すると
1+2x+3x^2+・・・+nx^(n-1)=Σ(k=1 to n)kx^(k-1)={nx^(n+1)-(n+1)x^n+1}/(x-1)^2
となり，100x^2を掛けて
Σ(k=1 to n)100kx^(k+1)=100x^2[nx^(n+1)-(n+1)x^n+1]/(x-1)^2

この式でx=1/2とおいて，n->∞としたものが求める期待値Eなので
lim_(n->∞)nx^(n+3)=lim_(n->∞)nx^(n+2)=0などを使うと

E=100(円)

回答No.1

tak2006

Σ(n=0　to　∞)100n×2^(-n)
＝Σ(n=1　to　∞)n×2^(-n)
＝100Σn×2^(-n)＝100Sとおく。

　　　　S=1×2＾(-1)+2×2＾(-2)+3×2＾(-3)+…＋m2＾(-m)　　(m→∞)
－)(1/2)S=　　　　　1×2＾(-2)+2×2＾(-3)+…＋(m-1)2＾(-m)＋m2＾(-m-1)
---------------------------------------------------------------------
(1/2)S=2^(-1) +2^(-2) +2^(-3)　　+…＋2^(-m)　　　　+m2^(-m-1)

両辺を2倍して
　　S=1+2^(-1)+2^(-2)＋…＋2^(-m+1)+m2^(-m)

　　　　S=1+2^(-1)+2^(-2)＋…＋2^(-m+1)+m2^(-m)
－)(1/2)S= 2^(-1)+2^(-2)＋…＋2^(-m+1)＋2^(-m)+m2^(-m-1)
----------------------------------------------------------
　　(1/2)S＝1+m2^(-m)-2^(-m)-m2^(-m-1)
　　　　　＝1　(∵m→∞)

　　∴S＝2
　　∴Σ(n=0　to　∞)100n×2^(-n)＝100S=200 //

となります。