コイン投げ：2n枚投げてn枚表の確率は？

質問

初質問です。分かりにくいところがあるかもしれませんが、ご容赦頂ければ幸いです。

コイン投げについて、
表裏それぞれ2分の1の確率で出るものとすれば、
2枚のコインを投げて表と裏がそれぞれ1枚ずつになる確率は1/2
4枚のコインを投げて表と裏がそれぞれ2枚ずつになる確率は3/8
6枚のコインを投げて表と裏がそれぞれ3枚ずつになる確率は5/16
・・・このように、
2n枚のコインを投げて表と裏がそれぞれn枚ずつになる確率は、
c(2n,n)/(2^n)
(2n個の中からn個選ぶ組み合わせ)÷(2の2nべき乗)
で計算できます。

もし、このコインの枚数をどんどん増やしていった場合、つまり
n→∞の時、
この確率はゼロに収束するのでしょうか？

色々と数式をいじってみたのですが、どうも上手いこと証明が出来ません。
分かる方いらっしゃいましたら是非ご回答ください。

余談：6面サイコロ6n個振って1の目がn回出る確率や、確率1/mのくじ引きをnm回行ってn回当たりが出る確率～など更に一般化するとどうなるか分かると更に嬉しいです。

回答No.2

MagicianKuma

0に収束します。証明は難しいですが、スターリングの公式を使ってよしとするなら。
c(2n,n)=(2n)!/(n!n!)≒√(4πn)(2n/e)^2n/(√(2πn)(n/e)^n)^2＝(2n/e)^2n/(n/e)^2n)/√(2πn)＝2^2n/√2πn
確率P(X=n)=c(2n,n)p^n(1-p)^n=c(2n,n)/2^2n≒1/√2πn
lim[n→∞]1/√2πn=0　　　どうでしょうか？

回答No.1

cockpit

c(2n,n)/(2^2n)
＝2n(2n-1)…(2n-(n-1))/n(n-1)…( n-(n-1) )/4^n
＝Π(k=0;n-1) （(2n-k)/n-k/4)
対数をとって
logc(2n,n)/(2^2n)
=-nlog4+Σ(k=0;n-1)log( (2-k/n)/(1-k/n) )
区分求積法を使って求めます。