期待値の問題なのですが・・・

質問

５０円硬貨３枚と１００円硬貨１枚を投げて表が２枚以上でたら、表に出た硬貨を全部もらえるものとする。この時、もらえる期待値を求めよ。

１００円→５０円硬貨×２枚
１５０円→１００円硬貨×１枚、５０円硬貨×２枚
あるいは５０円硬貨×３枚
２００円→５０円硬貨×２枚、１００円硬貨×１枚
２５０円→全て表

の時の期待値を求めればいいのですよね？
１００円の確率と１５０円の確率、２００円の確率はどのように求めたらいいのですか？２５０円は１／２＾４でいいですよね？

簡単な問題かもしれませんが、教えて下さい！！

回答No.5

fushigichan · ベストアンサー

ti-zuさん、こんにちは。

１）まず、４枚ともすべてが表だったときの
　もらえる金額は５０×３＋１００＝２５０円です。
　このときの、４枚とも表がでる確率は、
　(1/2)^3(1/2)=1/16
　ですから、期待値は、(1/16)*250・・・（１）

２）３枚が表である場合。
２－１）５０円玉３枚が表、１００円は裏のとき
　もらえる金額は、５０×３＝１５０円
　この確率は(1/2)^3(1/2)=1/16
　よって、期待値は(1/16)*150・・・・（２－１）
２－２）５０円玉２枚が表、１００円玉も表のとき
　もらえる金額は５０×２＋１００＝２００円です。
　この確率は(1/2)^3[3C2](1/2)=3/16
　よって期待値は、(3/16)*200・・・・（２－２）

３）２枚が表、２枚は裏のとき
３－１）５０円玉２枚が表のとき。１００円は裏のとき
　このときの、もらえる金額は５０×２＝１００
　この確率は(1/2)^2[3C2](1/2)=3/16
　よって、期待値は、(3/16)*100・・・（３－１）
３－２）５０円玉１枚と１００円玉１枚が表のとき
　もらえる金額は、５０＋１００＝１５０円です。
　この確率は(1/2)^3[3C1](1/2)=3/16
　よって期待値は、(3/16)*150・・・（３－２）

４）上記以外の場合は、もらえる金額は０円である。

１）～４）までを合計すると、求める期待値が出ます。
(1/2)^4{250+150+3*200+3*100+3*150}
=(1/2)^4*1750
=109.375

もらえる金額の期待値は、１０９．３７５円になります。

（注意）たとえば、３－１）のコンビネーションが出てきているのは
３枚の５０円玉のうち、どの２枚が表を向くのか、ということです。

金額を最初に考えるより、枚数で考えてみたほうが分かりやすいと思います。

回答No.4

Ameringo

こんばんは、ti-zuさん。
今回は苦手な数学カテに手を出してしまいました。（汗）
なので、間違っていたらごめんなさい！！

期待値は、この場合、それぞれの「金額×その金額の出る確率」の合計であらわします。
この場合の硬貨は、表裏平等に出るという前提があると思うので、四枚の硬貨それぞれについて分けて考えていくとわかりやすいです。

（１）１００円→５０円硬貨×２枚
１／２（１００円・裏）×１／２（５０円・裏）×１／２（５０円・表）×１／２（５０円・表）×３Ｃ２（＝３Ｃ１）×１００円
＊５０円硬貨ひとつひとつ区別するために３Ｃ２をかける
（２）
１．１５０円→１００円硬貨×１枚、５０円硬貨×２枚
１／２（１００円・表）×１／２（５０円・裏）×１／２（５０円・表）×１／２（５０円・表）×３Ｃ２（＝３Ｃ１）×１５０円

２．５０円硬貨×３枚
１／２（１００円・裏）×１／２（５０円・表）×１／２（５０円・表）×１／２（５０円・表）×１５０円

（３）２００円→５０円硬貨×２枚、１００円硬貨×１枚
１／２（１００円・表）×１／２（５０円・裏）×１／２（５０円・表）×１／２（５０円・表）×３Ｃ２（＝３Ｃ１）×２００円

（４）２５０円→全て表
１／２（１００円・表）×１／２（５０円・表）×１／２（５０円・表）×１／２（５０円・表）×２５０円

（１）＋（２）＋（３）＋（４）＝？？？円（単位を忘れずに）

あってるかな？？参考になれば幸いです。（混乱させてしまったらごめんなさい。）

回答No.3

ticky

その通りだと思います。

１００円の期待値は、
（百円硬貨が裏）かつ（五十円硬貨の一枚が裏、二枚は表）ですから、
（1/2）＊（3/8）＊100です。

１５０円の期待値は
（百円硬貨が表）かつ（五十円硬貨の一枚が表、二枚は裏）
あるいは
（百円硬貨が裏）かつ（五十円硬貨がすべて表）
ですので、
（1/2）＊（3/8）＊150
＋（1/2）＊（1/8）＊150

２００円の期待値は
（百円硬貨が表）かつ（五十円硬貨の一枚が裏、二枚は表）ですから、
（1/2）＊（3/8）＊200

２５０円の場合は
（百円硬貨が表）かつ（五十円硬貨がすべて表）ですから、
（1/2）＊（1/8）＊250

です。

回答No.2

papa0108

正しい解答方法ではないかもしれませんが。。。

５０円玉３枚をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃとします。
１００円玉をＤとします。

表になるのは１／２の確率とします。
効果が４枚なので２の４乗だけパターンがあります。
つまり１６パターンです。

２枚以上が表になるパターンを以下に表記します。
表になったものを大文字、裏を小文字で表記します
（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）　２５０円
（Ａ，Ｂ，Ｃ，ｄ）　１５０円
（Ａ，Ｂ，ｃ，Ｄ）　２００円
（Ａ，ｂ，Ｃ，Ｄ）　２００円
（ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）　２００円
（Ａ，Ｂ，ｃ，ｄ）　１００円
（Ａ，ｂ，Ｃ，ｄ）　１００円
（Ａ，ｂ，ｃ，Ｄ）　１５０円
（ａ，Ｂ，Ｃ，ｄ）　１００円
（ａ，Ｂ，ｃ，Ｄ）　１５０円
（ａ，ｂ，Ｃ，Ｄ）　１５０円　
以上、１１パターンです。

上記の金額を合計した１，７５０円を１６パターンで割った値が期待値です。

答えは約１０９円だと思います。
間違っていたらスイマセン。

回答No.1

kony0

説明のため、あえて、各硬貨の表の出る確率は等しくp、裏の出る確率はqとします。(p+q=1)

１００円となる確率は、
{3C2*p^2*q}*q

中括弧は、３枚ある５０円硬貨のうち、２枚が表になる確率。うしろのqは、１００円硬貨が裏になる確率です。

他のも同じように求めることができると思いますよ。