高校数学 確率の問題。 解き方を教えてください。

質問

高校数学　確率の問題。　解き方を教えてください。

【問１】
コインを１回投げるごとに、表が出れば持ち点が２倍になり、裏が出れば持ち点は半分になるものとする。
最初の持ち点が８点である時、次の問いに答えよ。
(1)コインを３回投げ終わったとき、持ち点が４点である確率は？
(2)コインを３回投げ終わったとき、持ち点の期待値は？

【問２】
０，１，２，２，３，３，３、を並びかえてつくられる７ケタの整数を考える
(1)このような整数のうち、奇数は何通りできる？
(2)整数２１０３３３２はつくられる整数のうちで小さい方から数えて何番目の数？

【問３】
白玉３個、赤玉２個、黒玉１個が入った袋の中から玉を１個ずつ取り出すとき、以下の問に答えよ。
(1)黒玉が取り出される前に、赤玉が一つも取り出されない確率は？
(2)黒玉がX回目に取り出されるとき、Xの期待値は？

【問４】
９本のくじの中に２本あたりくじがある。このくじを５人が次々に１回だけ引く。ただし、引いたくじはもとにもどさないものとする。
また最初のあたりくじを引くと２点、２つ目の当たりくじを引くと１点を得るものとする。
(1)２番目の人が得る点の期待値は？
(2)５番目の人が得る点の期待値は？

【問５】
１，２，３，４と一つずつ黒色で数字が書かれたカードが4枚、１，２，３と一つずつ赤色で数字が書かれたカードが3枚、合計7枚のカードが袋に入っている。この袋から2枚のカードを取り出すとき以下の問に答えよ。
(1)取り出されたカードに書かれている数の和が５である確率は？
(2)取り出されたカードに書かれている数の和の期待値は？
※どのカードにも数字が一つずつ書かれているものとする

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

【問１】(1)
３回投げたときの裏表の出かたは８通り。
そのうち、持ち点が４点になるのは表裏裏、裏表裏、裏裏表の３通りなので、確率は3/8
【問１】(2)
持ち点が１点になる確率＝1/8
持ち点が４点になる確率＝3/8
持ち点が１６点になる確率＝3/8
持ち点が６４点になる確率＝1/8
期待値＝1×1/8＋4×3/8＋16×3/8＋64×1/8＝125/8

【問２】(1)
奇数になるのは、
１×××××３　----　5!/(2!2!)＝30通り
２×××××１　----　5!/3!＝20通り
２×××××３　----　5!/(2!2!)＝30通り
３×××××１　----　5!/(2!2!)＝30通り
３×××××３　----　5!/2!＝60通り
計170通り
【問２】(2)
２１０３３３２より小さいのは、
１××××××　----　6!/(2!3!)＝60通り
２０×××××　----　5!/3!＝20通り
２１０２×××　----　1通り
２１０３２××　----　1通り
２１０３３２×　----　1通り
以上より84番目

【問３】(1)
赤玉と黒玉だけの順番を考えると、赤赤黒、赤黒赤、黒赤赤の３通りのうち条件を満たすのは１つだけなので、確率は1/3
【問３】(2)
黒玉が１～６回目に取り出される確率は、それぞれ1/6づつなので、
期待値＝(1+2+3+4+5+6)/6=7/2

【問４】(1)
１番目の人がはずれたとき、２番目の人が当たる確率は、7/9×2/8＝7/36
１番目の人が当たったとき、２番目の人が当たる確率は、2/9×1/8＝1/36
期待値＝2×7/36＋1×1/36＝5/12
【問４】(2)
１～４番目の人がはずれたとき、５番目の人が当たる確率は、7/9×6/8×5/7×4/6×2/5＝1/9
１～４番目の中の１人だけが当たったとき、５番目の人が当たる確率は、(7/9×6/8×5/7×2/6)×4×1/5＝1/9
期待値＝2×1/9＋1×1/9＝1/3

【問５】(1)
取り出されたカードが１と４である確率は、2/7×1/6×2＝2/21
取り出されたカードが２と３である確率は、2/7×2/6×2＝4/21
合計確率＝2/7
【問５】(2)
取り出されたカードの和が、
２になる確率は、2/7×1/6＝1/21
３になる確率は、2/7×2/6×2＝4/21
４になる確率は、2/7×2/6×2＋2/7×1/6＝5/21
５になる確率は、6/21
６になる確率は、2/7×1/6×2＋2/7×1/6＝3/21
７になる確率は、2/7×1/6×2＝2/21
期待値＝(2×1＋3×4＋4×5＋5×6＋6×3＋7×2)/21＝32/7
（別解）
カードを１枚取り出したときのその数の期待値は、カードの数の平均なので、(1+2+3+4+1+2+3)/7＝16/7
カードを２枚取り出したときの和の期待値はその２倍だから、32/7

お礼

ご回答いただきありがとうございました。
来年受験予定学校の過去問で、解答がなく困っていました。公式だけでは解けることができないので、問題のとらえ方や考え方などヒントを書いてくださったので、よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.2

40000Km

【問１】
(1)
表が１回裏が２回です
これは３通りなので
３／８

(2)
表３回　　　　　１通り　　６４点
表２回裏１回　　３通り　　１６点
表１回裏２回　　３通り　　４点
裏３回　　　　　３通り　　１点

１／８×６４＋３／８×１６＋３／８×４＋１／８×１

【問２】
(1)
最下位は１または３

１の場合
２と３を並べる
５個から２個を選ぶそこに２残りに３を置く ５×４
次に０を２番目から６番目のいずれかに置く ５通り
５×４×５

３の場合
５個から２個を選び２を置く、つぎに残りの３個から１個を選び１を置く残りに３を置く
５×４×３×５

(2)

最上位桁が1の場合
残りの６個を並べる

３は（６×５×４）÷(３×２×１）
２は（３×２）÷（２×１）
０をのこりへ置く
６０
最上位桁が２の場合
２桁目が０の場合は残りを並べる
３は（５×４×３）÷（３×２×１）
２は２通り
２０

あとは
２１０２３３３

６０＋２０＋１の次

【問３】
(1)
黒 1/6
白黒 3/6×1/5
白白黒 3/6×2/5×1/4
白白白黒 3/6×2/5×1/4×1/3

(2)
１回目 1/6
２回目 5/6×1/5=1/6
３回目 5/6×4/5×1/4=1/6
４回目 5/6×4/5×3/4×1/3=1/6
５回目 5/6×4/5×3/4×2/3×2/1=1/6
６回目 5/6×4/5×3/4×2/3×2/1×1/1=1/6
21/6

【問４】
(1)
当たり-当たりの場合2/9×1/8
はずれ-当たりの場合7/9×2/8
2/9×1/8×1+7/9×2/8×2=30/72

(2)５番目の人が得る点の期待値は？
4人目までに一人が当たって他は外れる
2/72×4=1/9
5番目が当たる
1/5

4人目まですべて外れる
5/18
5人目が当たる
2/5

1/9+1/9×2

【問５】
(1)
全部の場合の数は２１通り
１と４の組は２通り２と３の組は４通り
（２＋４）/２１

(2)
１、２で４通り、２、３で４通り。１、３で４通りで４８
４と１、２、３の組はそれぞれ２通りで３６
１、２、３のぞろ目がそれぞれ１通りで１２
（４８＋３６＋１２）/２１

お礼

ご回答いただきありがとうございました。
来年専門学校受験予定で、過去問で解答がなく困っていましたが、解くにあたって問題のとらえ方がわかりました。ありがとうございます。