期待値が無限大？

質問

コインを投げて賞金を得るゲームを行います。
表が出るまで投げ続け、表がｎ回目で出た場合、２＾ｎ円得ることができるとします。
このときの期待値は、
１＋１＋１＋・・・・となって無限大に発散するのですが、このように考えると参加費がいくらでも期待値を参考にして考える場合、参加することが得ということになりますが、この結論でよいのでしょうか？
もちろん、統計的に考えた場合、おかしな結論だと思いますが、、、どなたか教えていただきますようよろしくお願いいたします。

回答No.3

proto · ベストアンサー

セイント・ピータースバーグパラドックスってやつですね
たしか数学的には期待値無限大で正しかったはずです
ただ、これがパラドックスと呼ばれるのは、数学的な結論が直感的判断によるゲームの期待値と食い違うからです

このパラドックスを数学的に説明・解決することも出来るかも知れませんが
その類の回答は他の人に任せて、自分は現実的な解決法を書いてみます

例えば、このゲームにとてつもない強運の人が参加して
世界一のお金持ちや世界一の企業・財団の総資産も超えるような賞金を得たとしましょう
そうなったときゲームの主催者は約束通り賞金を払ってくれるでしょうか？
もちろんそんな多額の賞金を支払える人なんていません
もの凄い強運の人ならば、どんな額よりも大きな賞金(しかしそれでも有限の数字)でも得ることが出来るでしょう
つまり「表が出るまで投げ続け、表がｎ回目で出た場合、必ず２＾ｎ円の賞金をあげるよ」と言う人は嘘つきなのです
自分の財産を超える賞金は払うことが出来ませんよね
だから、素直にその言葉を信用してこのゲームを認めてしまってはいけません

では「自分は10億(≒2^30)円しか持っていないから、30回連続で裏が出たらそこでお終い」と言う主催者がいたらどうでしょう？
30回でコイン投げを打ち切る場合最大で10億円の賞金が貰え、ゲームの期待値は30円です
さっきの主催者よりは信用できるかも知れませんね

話がうまくまとまりませんが、このパラドックスは自分でいろいろ調べて考えてみると面白いと思いますよ

お礼

回答ありがとうございます
なかなか面白いお話ですね。かなり参考になりました。サンクトペテルブルグ・パラドクスと呼ばれるゆえんってなんですかね？
結局有限か無限かということに話は収束するみたいですが、protoさんの説明はとても面白いです。

回答No.5

adinat

あなたのおっしゃる通りで、期待値の考え方に従えば参加した方が有利です。ただし損する確率の方が高いのです。こういうゲームはリスクがあまり許容的でない人は参加しても有利とは感じないことが多いでしょう。

期待値が有効であると考えるのは、それは大数の法則から独立試行の平均が期待値に強収束するからです。つまり、同じ参加費で同じゲームを繰り返し行ったとき、合計の収支は最終的には期待値に落ち着く、というものです。途中で期待値より大きく損をするかも知れないし、期待値より大きく儲けるかも知れませんが、最終的には結局期待値ぐらいになる、ということです。

大切なのは、このゲームがたくさん出来るか出来ないか、ということに尽きます。たとえば参加費が１億円だとしましょう。まずまともな人間は参加しないはずです。２^ｎが１億を超えるのはｎ＝２７のときです（だいたい１億３０００万）から、少なくとも２６回続けて裏を出し続けなければ負けです。０．０００００１５％ぐらいの確率です。ぶっちゃけこんなこと生きている間に起こることはたぶんありません。

しかしここでも重要なのは、もしこのゲームが１兆回、１京回とおよそ現実にはありえないぐらいの回数を行うことができるのなら、結局毎回１億円の参加費を払っていても収支は＋の方に向いていくのです。

真面目に計算していないので、標語的な書き方になってしまいますが、このゲーム（参加費１億円）１回だけチャレンジした場合は、
９９．９９９９９９８５％
の確率で損をします。ところが１京回挑戦したならば、
９９．９９‥％
の確率で儲けます。期待値が有効になるのは、それは同じ試行を何回も繰り返したときなのです。

それからこれはまた別の話になりますが、行動ファイナス(Behavior Finance)と呼ばれる心理学とファイナンスの融合分野があって、そこでは一般的には（もちろん対象にする人の性格に依存する）未来に獲得できる利益、あるいは損失は、遠い未来であればあるほど影響が少なくなる、と考えることにしています。つまり１００回目で１億円もらえるよりは、１０回目で１億円もらえる方が得だと考えるわけです。心理という問題よりは、人間の寿命が有限であるということも考慮に入れているのかも知れません。どれぐらい時間によって割引が起きるのかは難しい問題です。時間に対して単に線形でよいというわけでもありません。手っ取り早く調べたい場合は、次のような質問を考えてみるとよいのです。

『明日１万円もらうのと、１週間後に１万１千円もらうのはどちらがよいか？』
時間と額をかえることによって、だいたい割引のレートがその人にとってどれぐらいかをグラフ化することができます。

話がそれたので元にもどします。このだいぶ後の試行をしたときにその影響が小さくなる、という前提で期待値を計算する（たとえば２３兆回目に１０億円あたると言われても、今１０００万円もらえるぐらいの嬉しさしかない！）という場合は、それは１／１００倍して計算することにするわけです。そういうことをしておくと、期待値は有限に収束させることができます。どちらかというと普通の人はこういう意識が暗黙に働いていて、参加費無限大は高すぎる、と思うのかも知れません。

ちなみに僕は１回しかやってはダメ、と言われたら、参加費１０円でも参加しません。もちろん１０円捨てる気になれば、参加しますけれど。９９％損をするが、１％の確率で大勝する、って感じのゲームなのです。博打好きにはたまらないでしょう。でも期待値だけに従うことにするとこれは賭けに乗るべきという結論になる。やはりリスク（大雑把に言って損をする確率）も考慮するのが賢い選択だと思うのですが、いかがですか？

お礼

回答ありがとうございます
「つきの法則」という本を読んだことがありますが、まさに「心の期待値」みたいなことがありました。
adinatさんの言うところと非常に似ていますね。

回答No.4

frage

n回目に表が出れば、後はコインを投げないわけですね。つまりそこまでの回数（有限回数）でオシマイになります。

これは、期待値が無限大（無限回数繰り返す）に発散するということとは、相容れないと思います。

コインを無限回投げつづけるということは、お金はいつまでたってももらえませんよ、という意味になります。お金をもらうということは、コイン投げを止めることですから。

回答No.2

sunasearch

有限と無限は大きく違います。

無限回投げ続けることができれば、期待値は無限大ですが、実際には有限回数しか投げることができませんので、その回数までの有限の期待値に収束します。

お礼

回答ありがとうございます
確かにその通りですね。塾の生徒たちに教える（高校一年生）に教えてあげたいのですが、まだ無限の概念がよくわかっていないので、、、面白い教え方とかあればよいのですが

回答No.1

osamuy

統計的に正しいけど、賭け事として、おかしいのでは。
負ける条件が存在してませんが。

お礼

回答ありがとうございます。
参加費が発生すれば、負けもあると思いますが。。。