二次関数の解答、これであってますか？

質問

二次関数ｆ(ｘ)＝－ｘ^２－２x＋３のｔ≦ｘ≦ｔ＋１における最小値をｍ(ｔ)とする。
（１）　ｍ(０)を求めよ。
（２）　ｆ(ｔ)＝ｆ(ｔ＋１)を満たすｔの値を求めよ。
（３）　ｍ(ｔ)を求めよ。

という問題を解いてみました。

（１）　ｆ(ｘ)＝－ｘ^２－２x＋３
　　　　　　　＝－(ｘ＋１)^２＋４
　　　　ｍ(ｔ)＝－ｔ^２－２ｔ＋３
　　　　ｍ(０)＝３

（２）　－ｔ^２－２ｔ＋３＝－(ｔ＋１)^２－２(ｔ＋１)＋３
　　　　　　　　　　　 ｔ＝－３／２

（３）　ｔ＜－３／２の時のｍの値15／4
　　　　ｍ(ｔ)＜15／4

これであっているでしょうか？

回答No.4

hinebot · ベストアンサー

(1)
>ｍ(ｔ)＝－ｔ^２－２ｔ＋３
は明らかに変ですね。

ｆ(ｘ)＝－ｘ^２－２x＋３＝－(ｘ＋１)^２＋４
ｙ＝f(x)は、（－１,４）を頂点とする上に凸な放物線
よって、ｔ=0すなわち　0≦x≦1でのf(x)の最小値はx=1のときである。
∴m(0)=f(1)=-1-2+3=0
となります。

(2)
合ってます。でも、途中式もちゃんと書いた方がいいですよ。

(3)
これじゃ不十分ですね。
(1)で解説したようにｙ＝f(x)は、（－１,４）を頂点とする上に凸な放物線です。よって、最小値m(t)を考える場合、軸を中心に場合分けが必要です。
範囲はｔ≦ｘ≦ｔ＋１、軸の方程式はx=-1ですから
まず、t≦-2,-2＜t＜1,-1≦tの３つに分けます。
（範囲の端であるtとt+1が軸に対してどういう位置関係になるか考えてください。）
(a)t≦-2のとき
常に軸の左側を考えることになるので、最小値m(t)は、x=tのときです。
m(t)=f(t)= -t^2-2t+3

(b)-2＜t＜-1のとき
グラフは軸をまたぐことになります。よって最小値m(t)は端点である
x=tまたはx=t+1のときです。
どちらになるかは、(2)の答えがヒントになります。
(b)-1. －２＜ｔ≦－３／２のとき
f(t)≦f(t+1)なので、最小値m(t)=f(t)です。
(b)-2.　－３／２＜t＜－１のとき
f(t)＞f(t+1)なので、最小値m(t)=f(t+1)です。

(c)-1≦tのとき
常に軸の右側を考えることになるので、最小値m(t)は、x=t+1のときです。
m(t)=f(t+1)=－(ｔ＋１)^２－２(ｔ＋１)＋３= -t^2 -4t

以上から答えとしては
t≦-3/2のとき　m(t)=f(t)=-t^2-2t+3
-3/2＜tのとき　m(t)=f(t+1)= -t^2 -4t
です。

お礼

途中式はここでは省略させてもらったので、実際にはきちんと書いています。
(３)の考え方、大変よくわかりました。
詳しく解説していただきありがとうございました。

回答No.3

metalslime

(１)　ｍ(０)を求めるという事はｔ＝０の時の最小値を求めるという事ですよね？
ということは、
ｔ＝０　→　０≦ｘ≦１の範囲の最小値
ｘ＝０の時はｆ(ｘ)＝３
ｘ＝１の時はｆ(ｘ)＝０

なのでｍ(０)＝０となると思うのですが・・・。
違ってたらすみません。

お礼

ありがとうございました。
metalslimeさんのおっしゃる通りでした。
助かりました。

回答No.2

tak2006

すいません。No.1の者です。
No.1に示した(1)、(2)、(3)は問題番号ではなく考え方の順番です。念の為。

お礼

わざわざ２度もありがとうございました。
この問題の考え方がわかりました。

回答No.1

tak2006

まず、
ｆ(ｘ)＝－ｘ^２－２x＋３
　　　　　　　＝－(ｘ＋１)^２＋４
をグラフ描画してください。
ｔの値によっては最小値はｘ＝ｔの場合もあればｘ＝ｔ＋１の場合も考えられます。
よって、
(1)　tを場合分けする（ｔ＝－１．５が分岐点となります。図を描いてみれば分かります）。
(2)　最小値はｘ＝ｔか、ｘ＝ｔ＋１かを見る。
(3)　ｆ（ｘ）に(2)の結果からxへ代入しそれをｍ（ｔ）とする。

ということをやってみてください。