数学の問題の解答を教えてください

質問

ある大学の過去の入試問題です。

ｔの関数 y = 1/4(4t+4-t)-a/2(2t+2-t-2)+1/2 について次の問いに答えよ。ただしaは定数とする
　（注)4tは4のt乗、4-tは4の-t乗、2tは2のt乗、2-tは2の-t乗、その直後の-2はそのままマイナス2

(1) tの関数 f(t) = 2t+2-tの最小値を求めよ
(注)2tは2のt乗、2-tは2の-t乗

(2) x = (2t+2-t)/2 とおくとき、yをxとaの式で表せ
　　(注)2tは2のt乗、2-tは2の-t乗

(3) yの最小値をaで表せ

(4) (3)でyの最小値が0となるときのaの値を求めよ

回答No.2

info22_

y =(1/4)(4^t+4^(-t))-(a/2)(2^t+2^(-t)-2)+(1/2)

(1)
f(t) = 2^t+2^(-t)
相加平均≧相乗平均の関係を用いて
f(t)≧2√((2^t)(2^(-t)))=2
等号が成り立つ 2^t=2^(-t)すなわち t=0のとき　最小値f(0)=2をとる。

(2)
x=(2^t+2^(-t))/2
(1)より t=0のときxは最小値1をとる。
x≧1 ...(※)
x^2=(1/4)(4^t+4^(-t)+2)=(1/4)(4^t+4^(-t))+(1/2)
y=x^2-(1/2)-a(x-1)+(1/2)=x^2-ax+a
∴y=x^2-ax+a

(3)
(※)より x≧1
y=(x-(a/2))^2+(a/4)(4-a)

軸x=a/2<1(a<2)のとき yはx=1での最小値=1をとる。
軸x=a/2≧1(a≧2)のとき yはx=a/2で最小値=(a/2)(4-a)をとる。

(4)
yの最小値が0となるときは(3)より
x=a/2≧1(a≧2)のときの　最小値(a/2)(4-a)=0
の場合だから
∴　a=4

なお、このとき
x=2(≧1を満たす）
x=(2^t+2^(-t))/2=2より
2^t+2^(-t)=4
(2^t)^2-4(2^t)+1=0
2^t=2±√3
t=log[2](2±√3) ([2]は対数の底)
となります。

お礼

早速の解答どうもありがとうございました。
数学の表記もうまくわからずに質問でしたが、大感謝です。

回答No.1

asuncion

注意書きを添えるくらいならば、
他のQ&Aのように
ベキ乗に ^ を使ってくださると
見やすいです。

また、ここの掲示板のように
分数を横方向に書かざるを得ない場合、
/ の左側に分子全体を
右側に分母全体を
書くことがお約束のようになっています。