空間ベクトルの問題

質問

問、三角錐OABCがあり、OA→＝=a→,OB→=b→,OC→=c→とする。
　 また、Aを通りOAと直行する平面をα、BCを通る直線をlとする。
(1) lとαが交わるとき、lとαとの交点をDとする。OD→をa→,b→,c→であらわせ。

正射影を使うのでしょうか？わかるかた教えてください！

回答No.2

kkkk2222

A(a),B(b),C(c),D(d)　

平面上の任意の点P(p)は、
　平面上の１点Q(q)とnormal-vector(n)を使用して、
　n・(p-q)=0 と表されて、

この問題では、
　Q(q)はA(a)、nはaに該当して、
　a・(p-a)=0

直線Lは、tを任意の実数として、
　d=(1-t)b+tc 　(1)

点Dは平面αと直線Lの交点で 、
　p=d
　a・(d-a)=0 　　(2)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

結局(1)(2)を解く事になります。

　a・(d-a)=0
　a・{(1-t)b+tc-a}=0
　a・{t(c-b)-(a-b)}=0
　t(a・(c-b))=a・(a-b)

　　　(a・(c-b))=0のときは、
　　　a・(a-b)=0,,,
　　　a・(c-b-a+b)=0
　　　a・(c-a)=0
これは平面αと直線Lが（平行）を意味するので、
（交点）と書いてあるので（不適）。

　(a・(c-b))≠0
　t=[(a・(a-b))/(a・(c-b))]

d=(1-t)b+tc
　=(1-[(a・(a-b))/(a・(c-b))])b+[(a・(a-b))/(a・(c-b))]c
　={ [(a・(c-b))-(a・(a-b))]b+[(a・(a-b))]c } /(a・(c-b))
　={ [(a・c)-(a・b)-(a・a)+(a・b)]b+[(a・(a-b))]c }/(a・(c-b))
　={ [(a・c)-(a・a)]b+[(a・(a-b))]c } /(a・(c-b))
　={ [a・(c-a)]b+[a・(a-b)]c } /(a・(c-b))

　={ [a・(c-a)]/[a・(c-b)] }b+{[(a・(a-b))]/[a・(c-b)] }c
となるようです。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。

最後の
{ [a・(c-a)]/[a・(c-b)] }b+{[(a・(a-b))]/[a・(c-b)] }c
は、分母、分子ともaで約分できないのでしょうか？
内積だから無理なのでしょうか？

回答No.1

koko_u_

>正射影を使うのでしょうか？
使いません。

D は直線 l 上の点だから b, c を用いて表現できますね。
また D はαの点だから、AD ⊥ OA ですね。

おわり。

お礼

AD ⊥ OAが思いつきませんでした。
ありがとうございました！