微分方程式についてxy'+y=sinx

質問

xy'+y=sinxがとけなくて困っています。頭のいい人いたらお願いします。

y''+y+y=t^2の特殊解を求めよとはどうゆうことなんでしょうか？

回答No.3

info22 · ベストアンサー

前半はすでに#2さんが回答済みですので省略します。

後半のみについて回答します。
>y''+y'+y=t^2の特殊解を求めよとはどうゆうことなんでしょうか？
線形微分方程式の一般解は
1)y''+y'+y=0の一般解
2)y''+y'+y=t^2…(A)の特殊解
の和となります。これは線形微分方程式の解法としてどんな参考書や教科書にも載っていることです。
2)を求めよ」ということではないでしょうか？
特殊解はその方程式と満たす解であればどんな解でもいいですので、求めやすい解を求めればいいです。
右辺のt^2の形から
y=t^2+at+b…(B)とおいて方程式(A)に代入してa,bを決定すれば良いです。
つまり
2+(2t+a)+t^2+at+b=t^2
を恒等式として未定係数法を適用してa,bを求めればいいです。
(2+a)t+2+a+b=0
2+a=0,2+a+b=0 ∴a=-2, b=0
したがって特殊解は(B)から
y=(t^2)-2t
となりますね。

お礼

ありがとうございました！分かりました！！

回答No.4

noname#57316

＃1です。
xy'+y　を見て先ず第一感で、d(xy)/dx と分かりますが、
これが完全微分であると見て積分因子を求めるとなるとちょっと面倒です。
積分因子を、Pとしますと、
d(P・y)/dx=xy'+y
(dP/dx)・y+P・y'=y+xy'
これから、P=x　となります。

(xy)、(x^2y)などの、xでの一回微分、二回微分などがどのような形になるか、
知っていれば、都合が良いでしょう。

お礼

ありがとうございます！
助かりましたｗｗ

回答No.2

Ilium

「y"+y+y=t^2の特殊解」については良く分からないので、回答になるか分かりませんが、「xy'+y=sinx」を解くだけなら答えられます。

この微分方程式は、線形微分方程式と呼ばれていて、一般解（解の公式）みたいなのが存在します。
それはy'+p(x)y=Q(x)に対し
y=e^（-∫Pdx)[∫Q*{e^（∫Pdx）｝dx+C]
です。なかなか書き表しにくいですね（苦笑）
微分方程式の教科書に必ず載っていますので、確認して下さい。

y'+y/x=sinx/xと変形して
y=e^（-∫1/xdx)[∫sin/x*{e^（∫1/x)dx}dx+C]
=e^-logx(∫sin/x*e^logxdx+C)
=1/x(∫sindx+C)
=1/x(-cox+C)=-cosx/x+C/x
ただし、Cは積分定数です。

お礼

線形微分方程式なんですか！ありがとうございます。

補足

y'+ay=Q(x)に対し

y=e^-ax*[∫{Q(x)*e^ax}dx+C]と書いてありましたが、微妙に違うのはなぜでしょうか？？

回答No.1

noname#57316

xy'+y=sinx　の左辺は、d(xy)/dx であることに気が付けば簡単。

y''+y+y=t^2　は式が間違っていませんか？

お礼

ありがとうございます。

補足

ありがとうございます！
確かに左辺は、d(xy)/dx ですね。
でもこれはどうゆう解放で求めているのでしょうか？

すいませんy''+y’+y=t^2です！！