x＋ｙ, xy

質問

実数x, yがx^2 + y^2≦1を動くとき, (x + y, xy)が動く範囲を座標平面上に図示せよ。
という問題が受験数学でありますよね。この問題を少し拡張して

「xy平面上の点P(x, y)が領域D(x, y)の周および内部を動くとき(ax + by, cxy), abc≠0の動く範囲」
を考えてみようと思いました。

(p, q) = (ax + by, cxy)とおくX = acx, Y = bcyとおくと
(cp, abcq) = (X + Y, XY)と変換され、領域D(x, y)はD'(X, Y)に移される

X, Yはtの二次方程式
f(t) = t^2 - (X + Y)t + XY = t^2 - cpt + abcq = 0
の解なので、この解がD'内にある条件を決定する。

(1) D'(X, Y)がXとYの対称式で表される場合、pとqに変換できる。＋実数条件。
(2) D'(X, Y)がX1≦X≦X2, Y1≦Y≦Y2というような領域の場合、解の存在条件からpとqに書き換えられる。
ただしX1＜X2, Y1＜Y2, X1∈[-∞, ∞), X2∈(-∞, ∞], Y1∈[-∞, ∞), Y2∈(-∞, ∞]
（表記が適当なので間違っているかもしれません。雰囲気で(笑)）

このほかにこの方法でp, qを表せるような領域はないでしょうか？

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

u = ax, v = bx, r = uv と置くと、
(u,v) → (p,r)=(u+v,uv) の変換は
基本問題どおり、
(x,y) → (u,v)=(ax,by)
(p,r) → (p,q)=(p,(c/ab)r) の変換は
軸ごとの定数倍ですから、簡単です。
あとは、それらを合成するだけ。
順を追って、D を変形してゆきましょう。

回答No.2

take_5

簡単なことだろう。

ax ＝α、 by＝βとすると、abxy＝αβであるから、Ｘ＝ax + by、Ｙ＝cxy＝（c/ab）αβ。
c/ab＝kとすると、Ｘ＝ax + by＝α＋β、Ｙ＝cxy＝（c/ab）αβ＝kαβ。
従って、αとβはt＾2-Ｘt＋（1/k）Ｙ＝0.　対称式の場合は簡単だろう。
そうではない場合は、xとyをＸとＹで表し、条件にぶち込むだけ。
a、b、cが全て定数であるにしても、計算が面倒であるだけで、大して意味のない事だよ。