1階の線形微分方程式
1階の線形微分方程式
次の微分方程式の解き方が分かりません。いちおう、自分でもやりましたが、答えを先生が教えてくれないので困っています。さらに(3)はさっぱりです。
(1)y'+2y=6e^x
(2)y'+y=sinx
(3)xy'-2y=x^3e^x
(1),(2)の自分なりで解いてみた答え
(1)
λ+2=0
λ= -2
よってこの微分方程式の一般解は
y1=Ce^-2x
ここで、yp=k1*e^x
とおいて、ypを微分方程式内に代入をすると、
yp'+2yp=k1*e^x+2k1*e^x=3k1*e^x=6e^x
k1=2
y2=2e^x
よって
y=y1+y2=C*e^-2x+2e^x
(2)
λ+1=0
λ= -1
よって、求める一般解は
y1=Ce^-x
ここで、特殊解を考えると
yp=L*sinx+M*cosx
yp'=L*cosx-M*sinx
これを微分方程式に代入して
yp'+yp=(L*sinx+M*cosx)+(L*cosx-M*sinx)=(L-M)sinx+(L+M)cosx
ここで、
L-M=1
L+M=0
これを解いて
L=1/2,M=-1/2
y2=1/2*sinx-1/2*cosx
よって、y=y1+y2=Ce^-x+1/2*sinx-1/2*cosx
