不定積分の求め方。

質問

(1)1/(4x^2-1)
(2)1/(x^2+x+1)
(3)x^2/(x^2+1)(x^2+4)

の三つのです。
(1)では全くやり方が浮かびません。置換積分にしてもxが残ってしまうし、割ってもだめでした・・。
(2)は分母を(x+1)^2-xとして、置換積分をしてもダメでして・・。一体どうすれば？
(3)も同じ理由です。

分母の方が次数が大きい場合の不定積分はどうすればいいのでしょうか？

回答No.1

eliteyoshi · ベストアンサー

(1)ですが、まず与式を部分分数展開します。

1/(4x^2-1)
={1/(2x+1)}{1/(2x-1)}
=(1/2){1/(2x-1)-1/(2x+1)}
=(1/4){2/(2x-1)-2/(2x+1)}

ここで、
∫2/(2x-1)dx=∫(2x-1)'/(2x-1)dx=log(2x-1)
∫2/(2x+1)dx=∫(2x+1)'/(2x+1)dx=log(2x+1)
だから、

(1/4)∫{2/(2x-1)-2/(2x+1)}dx
=(1/4){log(2x-1)-log(2x+1)}
=(1/4)log{(2x-1)/(2x+1)}
となります。

回答No.3

eliteyoshi

再びNo.1、2です。
(2)は置換積分でよいのですが、分母の変形を

x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4

とします。

∫1/(x^2+x+1)dx=∫1/{(x+1/2)^2+3/4}dx
ここで、x+1/2=tとするとdt/dx=1より

∫1/(t^2+3/4)dt
=∫1/[t^2+{(√3)/2}^2]dt
=(2/√3)tan^-1(2t/√3)+C
=(2/√3)tan^-1{(2x+1)/√3}+C

となります。

回答No.2

eliteyoshi

No.1で回答した者です。申し訳ないですが、前回回答に定数Cを付けるのを忘れていました。

(3)についても(1)と同様に部分分数展開します。

x^2/(x^2+1)(x^2+4)
=(1/3){4/(x^2+4)-1/(x^2+1)}

ここで、
∫1/(x^2+4)dx=∫1/(x^2+2^2)dx
=(1/2)tan^-1(x/2)
∫1/(x^2+1)dx
=tan^-1(x)
より、
(1/3)∫{4/(x^2+4)-1/(x^2+1)}dx
=(1/3){(4/2)tan^-1(x/2)-tan^-1(x)}+C
=(1/3){2tan^-1(x/2)-tan^-1(x)}+C
となります。

※tan^-1はアークタンジェントを示します。