定積分についての質問です。

質問

定積分についての質問です。

問題は
∫(0～1) {Sin^-1 (x)}^2 dx
(アークサイン x の2乗)
です。

部分積分も置換積分も通用しません！
解る方よろしくお願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

＞＞＞部分積分も置換積分も通用しません！

いえ。置換積分１回と部分積分２回を使います。

ｔ　＝　arcsinｘ
と置けば、
ｘ　＝　sinｔ
であり
ｄｘ／ｄｔ＝cosｔ　　⇒　　ｄｘ＝cosｔｄｔ
であり
ｘ＝０のときｔ＝０など　　ｘ＝１のときｔ＝π／２など

以上のことから
定積分　＝　∫[x=0⇒1]（arcsinｘ）^2ｄｘ
　＝　∫[t=0⇒π/2]ｔ^2・cosｔｄｔ

ここで
Ｕ＝ｔ^2　ｖ＝cosｔ
と置けば、
ｕ＝２ｔ、Ｖ＝sinｔ

定積分　＝　ＵＶ[t=0⇒π/2]　－　∫[t=0⇒π/2]ｕＶ
　＝　ｔ^2sinｔ[t=0⇒π/2]　－　∫[t=0⇒π/2]２ｔ・sinｔｄｔ
　＝　ｔ^2sinｔ[t=0⇒π/2]　－　もう１回部分積分

なお、私、計算ミスが多いので、ここまでの部分も信用せずに検算してください。

お礼

回答ありがとうございます！！
とてもわかりやすかったです！！