置換積分の質問です。

質問

置換積分の質問です。

π　　　　　　　　　　　　　　　π
　　∫　ｘsinｘ/(1+sin^2x)dx＝π/2∫ sinx/(1+sin^2x)dx
0　　　　　　　　　　　　　　　0

を示せ、という問題なのですが解答にｘ＝πーｔとおく、と書いてありました
　　これはどのように考えれば良いのでしょうか？

回答No.3

chukanshi · ベストアンサー

>あの、積分の計算は解るんですが、Ｘ＝πーｔっておく理由が解らないんです。
>質問の仕方が悪くてすいません。

なるほど。そういう質問でしたか。
私が思うに、「こうやって変数変換するとうまくいくから」
としか答えようがないと思います。
置換積分に限らず、積分では、こうやったら上手く行く
というだけで理由はあまりわからないと思います。

例えば、積分の問題（微分方程式を解く問題）でいろいろな
テクニックをつかって解がでたら、なぜそう変数変換して
うまくいったかは、理由はあるかもしれませんが、そうすれば
うまくいくという知識のほうが大切だと個人的には思っています。
とくに、微分方程式では「解の一意性定理」があるので、
とりあえず解ければそれで満足という感じになるのだと思います。

まあ、なぜそれで上手く行くのかは、「対称性」とか深い理由が
あとからわかることもありますし。意識的にそうすることもありますし。
回答になっていませんが、「そうするとうまくいく」ということで
納得していただけませんか。

また、私個人としても、他の方のご意見も伺いたいと思います。

お礼

「うまくいくから」ですか‥。とりあえずこの変換の仕方は
覚えた方が良さそうですね。ありがとうございました。

回答No.2

chukanshi

補足：
sin(π-t)=sin(t)
という三角関数の公式はOKですよね。

お礼

あの、積分の計算は解るんですが、Ｘ＝πーｔっておく理由が解らないんです。
質問の仕方が悪くてすいません。

回答No.1

chukanshi

π　　　　　　　　　　　　　　　
　　∫　ｘsinｘ/(1+sin^2x)dx＝Aとおきます。
0　　　　　　　　　　　　　　　

ｘ＝πーｔを代入します。
A＝
π　　　　　　　　　　　　　　　
　　∫　（πーｔ）sin（πーｔ）/(1+sin^2（πーｔ）)dt
0　　　　　　　　　　　　　　　
=
π　　　　　　　　　　　　　　　
　　∫　（πーｔ）sin（ｔ）/(1+sin^2（t）)dt
0　　　　　　　　　　　　　　　
=
π　　　　　　　　　　　　　　　
　　∫　π*sin（x）/(1+sin^2（x）)dx-A
0　　　　　　　　　　　　　　　

ただし変数tを改めてxと置きなおす。
よって、
2A=
π　　　　　　　　　　　　　　　
　　∫　π*sin（x）/(1+sin^2（x）)dx
0　　　　　　　　　　　　　　　
より
A=
π　　　　　　　　　　　　　　　
π/2∫ sinx/(1+sin^2x)dx
0　　　　　　　　　　　　　　　
以上。