線形代数の問題

質問

Ｘをｎ次実正方行列とし、Ｘ^3＝Ｅ(但しＥはｎ次単位行列)とする。以下の問いに答えよ。
(1)Ｘの行列式｜X｜の値を計算せよ。
(2)X-Eが正則であるとき、行列式｜X^2+X+E｜の値を計算せよ。
(3)X-Eが正則であるとき、Xの逆行列をXとEで表せ。
という問題が解けなくて困っています、どうか教えてくださいお願いします。

回答No.2

yaksa · ベストアンサー

(1) 1=|E|=|X^3|=|X|^3 より、|X|=1
(2) 0=|E-E|=|X^3-E|=|(X-E)(X^2+X+E)|=|X-E||X^2+X+E|
|X-E|≠0より、|X^2+X+E|=0
(3) 0=E-E=X^3-E=(X-E)(X^2+X+E)
X-Eが正則だから、X^2+X+E=0
これと、X^3=E を考えて、
(Xの逆行列)=X^2=-X-E

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.1

Rossana

回答を教えたら勉強にならないのでHINTです．
これでもHINT上げ過ぎな気がするけど．
(1)のHINT
X^3=XXXとして考えて下さい．|ABC|＝|A||B||C|
(2)のHINT
X-Eが正則⇔|X-E|≠0
X^3=E⇔X^3-E=Ｏ⇔X^3-E^3=Ｏ
｜X^2+X+E｜の形から因数分解が関係していそうという思考．
(3)のHINT
X^3-E^3=Ｏを因数分解してみよう．何か見えてくると思うよ．
考えてみてどうしても分からなかったら補足ください．

お礼

よくわかりました。たくさんの問題を解いて練習します。