線型代数（固有値に関する問題）

質問

Ａ＝｜-8　9　-9｜
　　 ｜ 9　-8　9｜
　　　 |　9　 -9　10|

という行列に対し、まず固有値を求めよという問題がありまして、ここまでは解けるのですが、次の問題に

　(1)Ａ＝Ｂ＾２を満たす実行列は存在するか？
　(2)Ａ＝Ｃ＾３を満たす実行列は存在するか？

という問題が解けずにいるので困っています。固有値を求めているので、対角化等をして求めていくとは思うのですが、どう導いていけばよいのでしょうか？
お手数ですが、ご教授していただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

mtaka_2007

Aを対称行列に変換する行列をPとすれば、対称行列Dは、
　　D＝PA（Pの逆行列）
と表わされます。従って辺々掛ければ、
　　D^2=PA^2（Pの逆行列）
となります。従って
　　A^2=（Pの逆行列）D^2P
となりますので、Dの対角成分のルートをとれば、Bになるのではないですか。従って、Dの対角成分が正であれば、A=B^2となる実行列が存在しますし、A=C^3となる実行列は、正負にかかわらず存在すると思います。

お礼

返事のほうが大変遅くなりましたが、ご教授ありがとうございます。
大変参考になりました。ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

逆に考えてみます:
行列 A の固有値・固有ベクトルと A^2 や A^3 の固有値・固有ベクトルはどのような関係にあるでしょうか?
これがわかれば「対角化」うんぬんもわかると思います.

お礼

ご教授ありがとうございます。できれば、もう少しヒントをいただけないでしょうか？よろしくお願いします。