線形代数の二次形式

質問

対称行列Aとベクトルx,yがある。
直交行列Pと対角成分がAの固有値からなる対角行列DがありD=P^(-1)APとなる。
y=P^(-1)xすると
A[x] = txAx = tytPAPy = tyDy　　*
(tx,ty,tPは転置行列を意味する。)
となる。

今、線形代数の二次形式を勉強していて、教科書に上のように書いてあるのですが*の式変形がわかりません。
自分の考えでは y=P^(-1)x から tx=tPty となり、txAx = tPtyAPy となると思うのですが、これだと*の式変形と合いません。
どなたか詳しい式変形を教えてください、お願いします。

回答No.2

noname#101087 · ベストアンサー

記法を(小生自身に)見やすいように改悪しておきます。
　　M' は M の逆行列
　　M^ は M の転置行列

[前提]
　(1) P が直交行列なら、P'= P~
　(2) 直交行列P と対角成分が A の固有値からなる対角行列D があり D=P'AP となる。
　(3) y=P'x

(2) から、PDP' = A　　(4)
従って、
　A[x] = x~Ax =x~(PDP')x　　(4)より
　　　　= (x~P)D(P'x)　　　　結合則より
　　　　= (P~x)~D(P'x)　　　積の転置
　　　　= y~Dy　　　　　　　(3)より

回答No.1

Tacosan

行列やベクトルの形を頭の中に描いてみてください.
x = P y とします. P は n次正方行列, x と y は列ベクトルです.
tx = tP ty でいいですか?