線形代数

質問

数学の問題で証明問題なので答えがなくて困ってます。

（1）行列Ａのk乗＝０、行列Ａ≠０ならば、Ａは対角化可能でないことを示せ。
（2）Ａを対称行列とし、Ａ≠０とする。任意の正整数kに対し行列Ａのｋ乗≠０であることを示せ。

解答解説お願いします。

回答No.2

kabaokaba

(1)
Aが対角化可能であるならば，
正則行列Q，対角行列Λを用いて
A=Q^{-1}ΛQ
O=A^k=Q{-1}Λ^kQ^{k}
だから，Λ=O
よって，A=O
＃Aは正則でも正則でなくてもいい．

(2)
Aは対角化可能，A^k=0とすれば，(1)よりA=0

回答No.1

noname#108210

方針だけ。
後は自分で考えてください。
（１）行列Aが正則行列でないことを導く。行列式の値を調べる。
（２）行列Aが（実）対称行列ならば，適当な直交行列Pで対角化できるから，対角化した行列のｋ乗を作ってみる。