線形代数［行列］の証明問題

質問

線形代数［行列］の証明問題の解答を教えて下さい。

※以下、Ｏは零行列、Ｅは単位行列を表す

１．Ａが正則な対称行列であれば、Ａインバース（Ａの逆行列）も対称行列になることを示せ。

２．Ａの３乗＝Ｏのとき、Ｅ＋Ａ、Ｅ－Ａはともに正則行列になることを示せ。

回答No.2

guuman · ベストアンサー

1
A・A^-1=E
⇒
(A・A^-1)^T=E^T
⇒
(A^-1)^T・A^T=E
⇒
(A^-1)^T・A=E
⇒
(A^-1)^T・A・A^-1=E・A^-1
⇒
(A^-1)^T=A^-1

2
-A^3=0
⇒
E^3-A^3=E
⇒
・・・・
⇒
E-Aの逆元は・・・
⇒
E-Aは・・

・・,・・・,・・・・を補足に書け

補足

・・・・ ： （Ｅ－Ａ）（Ｅ^2＋ＥＡ＋Ａ^2）
・・・ ： Ｅ＋Ａ＋Ａ^2
・・ ： Ｅ＋Ａ＋Ａ^2　の逆行列
でしょうか？正直よく分かりません。

ちなみに、
Ｅ＝Ｅ＋Ａ^3＝（Ｅ＋Ａ）（Ｅ－Ａ＋Ａ^2）
　＝Ｅ－Ａ^3＝（Ｅ－Ａ）（Ｅ＋Ａ＋Ａ^2）
を用いて、Ｅ＋Ａ、Ｅ－Ａの逆行列を具体的に求める
という方針で解くとどうなるのでしょう。

回答No.4

guuman

・・に正しい語句を補足に書いて締め切れ
この質問以外の質問は改めてすること

お礼

ご協力ありがとうございました。大変参考になりました。

補足

訂正：ＡＮｏ．３の補足
　　Ａが正則のとき、Ａ・Ａ^-1＝Ａ^-1・Ａ＝Ｅ

最終的に以下のように解答しました。
※「Ａ^-1」はＡインバース（Ａの逆行列）を、「t^Ａ」はＡの転置行列を表す

１．証明）
Ａが正則な対称行列だから、
t^（Ａ^-1）・t^Ａ＝Ｅ
t^（Ａ^-1）・Ａ＝Ｅ
t^（Ａ^-1）・Ａ・Ａ^-1＝Ｅ・Ａ^-1
t^（Ａ^-1）・Ｅ＝Ｅ・Ａ^-1
t^（Ａ^-1）＝Ａ^-1
よって、Ａ^-1も対称行列である。

２．証明）
Ａ^3＝Ｏ
Ａ・Ａ・Ａ＝Ｏ
Ａ・Ａ・Ａ・Ａ^-1＝Ｏ・Ａ^-1
Ａ・Ａ・Ｅ＝Ｏ
Ａ^2＝Ｏ
Ｅ＝Ｅ＋Ａ^3＝（Ｅ＋Ａ）（Ｅ－Ａ＋Ａ^2）＝（Ｅ＋Ａ）（Ｅ－Ａ＋Ｏ）＝（Ｅ＋Ａ）（Ｅ－Ａ）
よって、Ｅ＋Ａ、Ｅ－Ａは互いに逆行列同士なので、ともに正則行列である。

回答No.3

guuman

正則の定義とその必要十分条件を列挙せよ

補足

正方行列Ａが逆行列をもつとき、Ａは正則行列である。
Ａが正則のとき、ＡＡ^-1＝Ａ^1Ａ＝Ｅ

回答No.1

ojisan7

１．AのCofactorをAijとすると、
Aが対称行列であれば、Aij=Ajiが成り立つ。このことを示せばよい。

２．(E-A)(E+A)=Eが成り立つ。このことを示せばよい。

お礼

ご協力ありがとうございました。

補足

もう少し具体的に（数学が苦手な人にも分かりやすいように）教えていただけると幸いです。
あと、「Cofactor」というのは何でしょうか。