有理数体と実数体の間の群

質問

有理数体と実数体の間にそれらとは異なる群は無いと思うんですが、あるのでしょうか？教えてください。

回答No.3

Tacosan

全ての S ⊂ R に対して Q(S) が違うのであれば簡単なんだけど, そうでもないから面倒ですよね＞#2. 卑怯な例だけど S1 = { √2 }, S2 = { 1/√2 } なら Q(S1) = Q(S2) なので.
とはいえ, その線しかちょっと思い付かないなぁ. 「不加算無限集合 X ⊂ R で, X の任意の異なる部分集合 S1, S2 に対して Q(S1) ≠ Q(S2)」という X があればいいんだけど.... どうするんだ?
条件は厳しいけど, 「不加算無限個の超越数の集合 X で, X の要素は全て代数的に独立」という集合が作れればいいよなぁ. そんなのあるのか?

お礼

ありがとうございました。またいろいろ考えて見ます。

回答No.2

ojisan7

>有理数体と実数体の間にそれらとは異なる群（体）は無いと思うんですが

いいえ、とても、数え切れないほど、たくさんありますよ。Q(√2)もそうですし、まだまだ、たくさんあります。
kabaokabaさんのように、有理数体に１点を付加して拡大することを考えただけでも、中間体が連続体濃度以上は存在することがわかりますよね。ただし、連続体濃度を超えるかどうかは、不明です。しかし、中間体を作るのに、加算個の点を付加する方法のみを考えている限りでは、連続体濃度を超えることは考えられません。有理数体と実数体の間にある中間体はどのぐらい存在するのでしょうか？

代数学ではあまり使われていない方法ですが、次のような方法で中間体を作ったとしたらどうでしょうか。
有理数体Ｑに、実数の部分集合Ｓを付加し、Ｑ（Ｓ）とするのです。Ｓは、実数の任意の部分集合であり、実数のすべての部分集合について、このような中間体を作るものとすると、これは明らかに連続体の濃度を超えますね。でも、このことは、今、私が単なる思い付きで考えたことであって、これが正しいかどうかの保証はありません。質問者さんも、暇があったら、考えてみてくださいね。

お礼

そうだったんですね。ありがとうございました。代数学って面白そうですね。

回答No.1

kabaokaba

山ほどそれこそ実数濃度ほど中間体が存在します．
体は群ですので，条件を満たします．
有理数体に，実数を一個付加した拡大体をとればよいだけです．

例：Q(π), Q(e)

お礼

そうだったんですね。ありがとうございました。