ガロア群の有理関数の求め方

質問

ガロア群の有理関数の求め方

以下では有理数体で考える。

求める方程式を
f(x)=x^3-2
とする。

根は
x_1=2^(1/3), x_2=2^(1/3)(-1 + √3i)/2 , x_3=2^(1/3)(-1 - √3i)/2
である。

すべての置換sについて
V = c_1*x_s(1)+c_2+x_s(2) +c_3*x_s(3)
の値が異なるc_1,c_2,c_3が存在する。
その値を
c_1 = 0, c_2 = 1, c_3 = -1
とする。

単位置換について値を計算する
V = c_1*x_1 + c_2+x_2 + c_3*x_3 = 2^(1/3)( √3i)

Ｖは
V^6+108 = 0 の根でもある。

このとき
x_1 = φ1(V)
x_2 = φ2(V)
x_3 = φ3(V)
となる有理関数が存在する。

有理関数とはP(V)/Q(V)の関数で、P(V),　Q(V)　は　有理数を係数とするＶの多項式である。

さて、質問です。
この
φ1,φ2,φ3
の具体的な関数は何でしょうか。

それとも円分体の場合は特別なのでしょうか。

わかっている方がおりましたら、教えて下さい。

以下は４次方程式
f(x)=(x^2-2)(x^2-3)
の数値の場合である。

根は
x_1= √2, x_2= -√2, x_3= √3, x_4= -√3
である。
c_1 = 1, c_2 = -1, c_3 = 3 c_4 = 2
とすると
V= 1*x_1 - 1*x_2 + 3*x_3 + 2*x_4 = 2*√2 + √3
となる。このとき
5/V = (2*√2 + √3) * (2*√2 - √3) / (2*√2 + √3 ) = 2*√2 - √3
であるので
有理関数は
x_1 = (v + 5/v )/4 = (V^2 + 5)/(4V) = φ1(V)
x_2 = -x_1 = -(V^2 + 5)/(4V) = φ2(V)
x_3 = (V - 5/V )/2 = (V^2 - 5)/(2V) = φ3(V)
x_4 = -x_3 = -(V^2 - 5)/(2V) = φ4(V)
となる。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

x_1=2^{1/3}
x_2=2^{1/3}(-1+i√3)/2
x_3=2^{1/3}(-1-i√3)/2

V=x_2-x_3=2^{1/3}(i√3)
とすると
-6/V^2=2^{1/3}
だから
有理関数は
x_1=-6/V^2=φ1(V)
x_2=3/V^2+V/2=(6+V^3)/(2V^2)=φ2(V)
x_3=3/V^2-V/2=(6+V^3)/(2V^2)=φ3(V)
となる