群を作る！？

質問

正の整数は・・・
・3+4＝7
・3+（4+2）＝（3+4）+2
・4+0＝0
・4+（-4）＝0
を満たし群をつくりますよね？
それじゃあ、
1.正の分数、
2.正の有理数
は群をつくるのでしょうか？
分数の場合、1/2+1/2＝1となり、一つ目の条件が合わないので、群をつくらないのかな？

回答No.3

pyon1956 · ベストアンサー

＞4+（-4）＝0
これが問題で、-4は正の整数じゃないので、

正の整数は加法について群は作らないのです。

正の分数、これも仰るとおり加法について群は作りません。（閉じていないから）
正の有理数全体についても加法については群を作りません。いずれも逆元が負の数になってしまい、また単位元が０で範囲内に逆元と単位元が存在しないからです。
ただし、正の有理数と正の整数は加法について閉じていて、結合法則を満たします。こういうのを半群といいます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E7%BE%A4

ただし、正の有理数全体は乗法について群を作ります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96#.E7.BE.A4.E3.81.AE.E5.AE.9A.E7.BE.A9

回答No.2

shkwta

＞4+（-4）＝0
(-4)は正の整数ではありません。この話、どこか間違っていると思います。

「正の分数」と「正の有理数」は同じだと思いますが…
（分母が1なら分数と言わないという意味なのかな？）
また、「正の有理数」は加法については群でなく、乗法に対しては群ですが…
以上ご確認ください。

回答No.1

rabbit_cat

なんか、正の整数と言っておきながら-4とかでてるんだけど。

とりあえず、整数全体は、可算に対して群をなします。

1. 正の分数ってなに？ 整数でない有理数のこと？
可算に対して群じゃないですね。

2. 正の有理数は、可算に対して群ではないですね。
有理数全体は、可算に対して群をなします。