領域と最大・最小

質問

x≧1,y≧3,9≦xy≦27のとき、z=log3(x^2)+log3(y)←底が３です　の最大値を求めよう
(1)s=log3(x),t=log3(y)とおくと、s≧0、t≧1,2≦s+t≦3　また z=2s+t である
(2)zはs=(　　　),t=(　　　)のとき最大値(　　　)をとる
(3)zはx=(　　　),y=(　　　)のとき最大値(　　　)をとる

もうすぐ高３です(´；ω；｀)ウッ…
(1)は分かったのですが（2）以降が分かりません…
解答またはヒントをよろしくお願いします！

答えは
s=(　　2　),t=(　　1　)のとき最大値(　5　　)
x=(　　9　),y=(　　3　)のとき最大値(　5　　)

回答No.1

Kules · ベストアンサー

まあ「領域と最大・最小」の問題だって書いてあるんだから、領域を使うんでしょうね。

a)s≧0、t≧1,2≦s+t≦3が表す範囲をxy平面ならぬst平面に描いてみて下さい。どんな形になりますか？

b)a)で描いた領域をDとすると、s,tはDの内部の点である必要があります。
つまり、 z=2s+tをsとtの式(zはただの定数と考える)と解釈すればこれは直線の式になりますが、
この直線がDと共有部分を持っていないとだめということです。
逆にいうと、直線がDと共有部分を持っている場合、s≧0、t≧1,2≦s+t≦3を満たすs,tは少なくとも1組存在し、そのs,tを代入すればzを求めることができます。
もう一度z=2s+tの式に戻って、t=-2s+zの形に直します。普段見ているxy平面とst平面の対応を、x⇔s、y⇔tとすると、
t=-2s+zと書いた時、-2は傾きで、zは切片であることがわかります。

そうすると、この問題は最終的に次のように考えればよいことになります。
「直線t=-2s+zが領域Dと共有部分を持つように動く時、切片zの最大値を求めよ」
これがわかれば(2)はわかったことになりますね。

(2)がわかったのに(3)がわからないとは言わせませんので。

わからなければどこまで考え、どこがわからなかったかを補足に書いてください。

参考になれば幸いです。

お礼

とても丁寧な回答、ありがとうございました！
参考どころか、理解を深めることができました＾＾
領域が苦手なのでもっとがんばりますね！

回答No.2

mister_moonlight

対数を媒介に使ってはいるが、置き換えれば　sとtに関する典型的な線型計画法の問題。
これは最大値・最小値の問題としては極めて基本的問題。
絶対に憶えておかねばなかない手法。こんなのは、未だ易しいほうだよ。

s≧0、t≧1,2≦s+t≦3　‥‥(1) z=2s+t　‥‥(2)　とする。
先ず、(1)を　st平面上に図示する。sを通常のx軸にとり、tを通常のy軸にとる。
そうすると、第1象限の4つを頂点Ａ(2、1)、Ｂ(0、3)、Ｃ(0、2)、Ｄ(1、1)とする四角形の内部と周上であることがわかる。‥‥(4)
(2)は　t＝-2s＋z　‥‥(5)　と変形できるから、これは　傾きが　-2　でt切片がzの直線。
zの最大値と最小値を求めるんだから、(4)の範囲で　(5)を動かすと、最大値は　Ａ(2、1)でz＝5、最小値は　Ｃ(0、2)の時で　z＝2.

お礼

回答ありがとうございます！
線形計画法、あまりよく分かっていなかったのでいい機会となりました＾＾

基本すぎますよね(；´∀｀)ごめんなさい
もっと勉強しなければ…