最大値、最小値

質問

（問題）
2x+y=1、x≧0、y≧0のとき2x^2+y^2の最大値及び最小値を求める。

最大値とそのときのx、yは、xやyの値を直接あてはめてみて求めることが出来ましたが、最小値の計算で困っています。yが0（yの範囲が0以上なので単純にyが小さければ求められるのかと考えたのです）の時にxも求められるのでは？と思ったのですが、回答を確認したら違うらしく・・・。
答えは　最小値が1/3　　x、yの組が1/3、1/3 でした。
答えが違うという事はきっと私の考え方自体も間違っているのでしょうね。正しい計算方法を教えて下さい。宜しくお願い致します。

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

2x+y=1、y≧0よりx≦1/2
0≦x≦1/2
また、y=1-2xを2x^2+y^2に代入

2x^2+(1-2x)^2=6x^2-4x+1=6(x^2-2/3x)+1
=6(x-1/3)^2-2/3+1=6(x-1/3)^2+1/3
0≦x≦1/2よりx=1/3が範囲に入っているので
最小値はx=1/3の時、1/3

お礼

回答ありがとうございました。
お礼の返事が遅くなり、申し訳ありませんでした。

回答No.1

shinkun0114

この問題を解くとき、微分は使っていいのでしょうか？
f(x)=2x^2+y^2
と置き、yをxで書き換えると、下に凸の放物線になります。
　下に凸の放物線の最小値は、f(x)/dx=0のときのxを
求めれば求まります。

補足

グラフの向きについてなのですが、
2X+Y=1を二乗して、2X^2+Y^2=1^2
Y^2=1-2X^2にしてみたのですが、-2X^2なので上に凸のグラフになるのでは？と思ったのですが。
初歩的な確認ですみません。