最大値と最小値について

質問

等式についての最大値の求め方が分からなくて、誰か知っている人がいたら教えてくれませんか？
等式の問題は
11x-97y=1を満たす整数xとyについてで。
|ｘ－ｙ｜の最小値を求めるのですが、絶対値がでてくると、なんだ？という感じでさっぱりわかりません。
答えは39ですが、　任意の会はx＝-44＋97t y=-5＋11t　　です。

分かる方がいれば、詳しく教えてくれませんか？
お願いします

回答No.2

oshiete_goo

11x-97y=1

1次の不定方程式の解法をお調べになると良いでしょう．
（ユークリッドの互除法を使えばいいんでしたね）
さて，一般解　x＝-44＋97t y=-5＋11t　を認めていいのなら
|x-y|＝|(-44＋97t)－(-5＋11t)|＝|86t-39|(≧0)
これが最小になるのは　関数　y＝|86t-39|が t≦39/86　の時は単調減少，t≧39/86の時は単調増加であるから，ｔが整数の時ならば,t=0,1 の時を比較して，
最小値はt=0の時に |x-y|＝|-39|＝39・・・(答)

なお，愚直に解けば，例えば次のようになります．
まず特解(解の１つ)を偶然に頼らない方法で求めます．
11x-97y=1
11(x-8y)-9y=1
11a-9y=1・・・(＠＠) [a=x-8y]
2a+9(a-y)=1
2a+9b=1 [b=a-y]
2(a+4b)+b=1
2c+b=1 [c=a+4b]

ここまでくれば c=0,b=1 という１組が求まります．[この形までくれば，係数が１でない方を0にとれば，必ず整数解が作れます．]
逆に代入して行って　a=-4,y=-5,x=-44

よって，特解　xo=-44,yo=-5　が見つかりました．
勿論，(＠＠)くらいのところでも差が１になる組が見つかればＯＫで，
45-44=1 より，a=-4,y=-5 として打ち切ってよいです．

さて，11x-97y=0　の一般解は，11と97は互いに素より，
x＝97t, y＝11t　(tは整数)
と書けるので，結局元の方程式（＠）の一般解は
x＝97t+x0＝97t-44, y＝11t+y0＝11t-5
です．