最大値・最小値

質問

ｘ＾２＋２ｙ＾２＝１のとき、２ｘ＋３ｙ＾２の最大値・最小値を求めよ

私が考えたのは、ｘ＾２＋２ｙ＾２＝１よりｙ＾２＝(１－ｘ＾２)／２。これを２ｘ＋３ｙ＾２の代入して式を求めました。この後です。考えるべき範囲はどのようにして求めればいいのでしょうか？

回答、お願いします。

回答No.5

mirage70 · ベストアンサー

X^2+2Y^2=1…(1)というのは、楕円の方程式であることがわかりますね。
此から、Xの範囲は-1≦X≦1と言うことが導けます。
次に、一ひねりが必要です。
Y=K-(3/2)X^2と言うものを考えますと、此は放物線であることが、わかりますね。そして、此はY軸に対して下に開いています。
では、同様に考えると、X=K-(3/2)Y^2と言うものはどういうものかを考えればよいです。
此は、X軸に対象な放物線となり、Xがマイナス方向に開いております。
本論に戻り、2X++3Y^2=Kと置き、Kの範囲を求めればよいです。
Y^2=(1-X^2)/2を上の式に代入します。
2X+3(1-X^2)/2=k
4X+3-3X^2=2K
3X^2-4X+(2K-3)=0
此が実数解を持つことが必要ですので、判別式を利用。
D'=4-3(2K-3)≧0　∴K≦13/6とでてきますが、
再度Xの範囲は、-1≦X≦1ですので、
X=-1,Y=0を入れると、2X+3Y^2=K=-2
X=1,Y=0を入れると、2X+3Y^2=K=2となります。
-2の時は、楕円の左側で接するときであり、
2の時は、楕円の右側で接するときであり、
13/6は楕円の途中で接すものですので、
回答は、　-2≦2X+3Y^2≦13/6

お礼

ｍｉｒａｇｅ７０さんのお礼欄を借ります。皆さんのヒントを元に解いた所、見事でました。皆さん親切な回答を有難うございました！！

回答No.4

noname#24477

（ｙの遺言）
y^2が消え去るときに俺のことも覚えておいてくれとｘに
伝えます。

y^2≧０
１－x^2≧０
x^2-1≦０
これより
-1≦x≦1
（楕円になっているのでグラフを考えれば明らか）

回答No.3

mmky

参考程度に
すでにヒントは出ていますけど、
x＾2＋2y＾2=１
は、x＾2/a＋y＾2/b＝１
a=1, b=1/2 の楕円の方程式だから、
x=0, y=±1/√2
y=0, x=±1
がxとyの領域ですね。
その条件で、２ｘ＋３ｙ＾２　の最大、最小を考えれ
ばいいんですよね。
ということでしょうかね。

回答No.2

eatern27

ｙ＾２＝(１－ｘ＾２)／２≧0

からxの範囲が求まります。

回答No.1

nubou

システマティックな解き方の方が機械的にできます
ｆ（ｘ，ｙ）＝２・ｘ＋３・ｙ＾２
ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘ＾２＋２・ｙ＾２－１
として
ラグ藍綬の未定乗数法
Ｆ（ｘ，ｙ，λ）＝ｆ（ｘ，ｙ）－λ・ｇ（ｘ，ｙ）
として
Ｆのｘ，ｙ，λの偏微分が０の方程式を解けば
すべての局地が求まります
その極致が最知になるかどうかを検査

テクニカルに求める方法もあるけど大学生らしくないですね

お礼

回答、有難うございました。
何だか難しい解き方ですね。まだ学校で習っていないので・・・。もう少ししたら習うのかな？