最大最小

質問

ｘ、ｙを実数として　ｘ＾２+ｙ＾２＝４　が成り立つとき　２ｘ+ｙ　の最大値最小値を求めよ。

一応答えは出たのですが、自信がありません・・・。よろしくお願いします。

回答No.1

seian · ベストアンサー

x^2 + y^2 = 4 :原点を中心とする半径2の円。
一方、2x + y = A とおいてやると、これはy切片がAで傾き-2の直線。
両式を満たす実数解が存在するのは上記円と直線が交わるか接する時。
Aが最大または最小となるのは図を描いてみれば分かる通り
円と直線が接する時。
つまりこの2つの接点が最大値もしくは最小値をもたらすx、y値。
両接点同士をつないで見るとこれは明らかに原点を通り、
傾き1/2の直線：y = x/2 となるのでこれを円の式に代入して
解を求めれば接点のx座標が求まる。

x^2 + (x/2)^2 = 4

これを解くと x = ±4/ルート(5)、よって y = ±2/ルート(5)
従って、A の最大値は 10/ルート(5) = 2・ルート(5)、
最小値は -2・ルート(5)

別解)
円と接する傾き-2の直線を描いてみれば分かる通り、
(今はyが正の部分について考えます。）
原点、接点、直線のy切片を頂点とする三角形は直角三角形。
辺(原点-接点)：辺(接点-y切片) = 1：2
辺(原点-接点) = 2 なので 辺(接点-y切片) = 4
よって 最大値：A = ルート(2^2 + 4^2）= 2・ルート(5)

てな具合でいいんですかね? 久しぶりに数式なんて扱いました。

回答No.3

millionwalker

こういうのは競いたくなるものでしょうか。

x^2+y^2=4が成立するとき、(x,y)は原点を中心とする半径2の円周上の点のいずれかなので、
x=2cosθ, y=2sinθ
とあらわせる。したがって、
2x+y=4cosθ+2sinθ
=2rt(5)((2rt(5)/5)cosθ+(rt(5)/5)sinθ)
=2rt(5)(cosα・cosθ+sinα・cosθ)
=2rt(5)cos(θ-α)
ここで、rt(5)は5の平方根、αはcosα=2rt(5)/5, sinα=rt(5)/5となる値。
よって、2x+yの最大値は2rt(5)、最小値は-2rt(5)。
それぞれx,yは（以下略）

お礼

こういう方法もあったんですねー。納得。ありがとうございました！

回答No.2

seian

補足です。
円と接する時なので y = -2x + A を円の式に代入すると

x^2 + (-2x + A)^2 = 4

これをｘについて整理すると、

5x^2 - 4Ax + A^2 - 4 = 0

接するのは上記方程式が重解を持つ場合、
よって判別式

D = (4A)^2 - 4・5・(A^2 - 4) = 0

上記式を解いて

A = ±2・ルート(5)

この方がエレガントですかね?

お礼

エレガントです。ありがとうございました！