ベクトル成分

質問

xyz空間に４点Ａ(1,1,1),B(2,3,4),C(3,-2,0),D(5,1,3)がある。
点Dから三角形ABCを含むへお面に下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。

という問いの解答で、
『Ｈはこの平面上にあるから、k,Lを実数として、
　　ＯＨ＝ＯＡ＋kＡＢ＋LＡＣ・・・(1)　（上に→が付く）
　　　　＝(１+k+２L，１+２K－３L，１+３K－L）・・・(2)　以下省略』

このところで、なぜ(1)から(2)のように成分で表すことができるのですか？

回答No.3

aster · ベストアンサー

Ａ（１，１，１）とか、ＡＢ＝（１，２，３）というのは、同じ（ａ，ｂ，ｃ）という形をしていますが、意味が違うのです。

Ａ（１，１，１）の（１，１，１）というのは、三次元空間の直交座標系での、「点の位置」を示す「座標値」です。

ＡＢ＝（１，２，３）の（１，２，３）というのは、「座標値」ではなく、ＡＢという「一般ヴェクトル」の「成分」を表しているのです。

ＯＡ＝（１，１，１）と書いたときは、座標値でもなく、一般ヴェクトルの成分でもなく、原点Ｏに始点を固定された、固定（束縛）ヴェクトルの終点の座標を示していて、これはまた、同時に、ヴェクトルＯＡの成分値でもあるのです。

座標値を表す三つの数字の組、（ａ，ｂ，ｃ）と、
一般ヴェクトルの成分を表す三つの数字の組、（ａ，ｂ，ｃ）と
束縛ヴェクトルを表す、原点０が始点の場合の終点の座標値、つまり、ヴェクトルの成分値、（ａ，ｂ，ｃ）という、
三種類の（ａ，ｂ，ｃ）の形をした表現があるのです。

Ａ（１，１，１）というのは、Ａという点の座標値を示しています。

原点Ｏ（０，０，０）から、このＡ点へと伸ばしたヴェクトルは、始点が原点に決まっているので、束縛（固定）ヴェクトルと呼び、ＯＡ＝（１，１，１）というのは、束縛ヴェクトルの成分を表します。

ＯＡ＝（１，１，１）というのは、実は、ＯＡ－ＯＯ＝（１，１，１）－（０，０，０）ということで、これを計算すると、ＯＡ＝（１，１，１）になるのです。

Ａ（１，１，１）は、座標の値を示していたのですが、ＯＡ＝（１，１，１）というのは、ヴェクトルＯＡの成分を示しているのです。同じ、（１，１，１）の形をしていますが，意味が違うのです。

＞『Ｈはこの平面上にあるから、k,Lを実数として、
＞　　ＯＨ＝ＯＡ＋kＡＢ＋LＡＣ・・・(1)　（上に→が付く）
＞　　　　＝(１+k+２L，１+２K－３L，１+３K－L）・・・(2)　以下省略』
＞
＞このところで、なぜ(1)から(2)のように成分で表すことができるのですか？

ＯＨとか、ＯＡ，ＡＢ，ＡＣは、ヴェクトルなのです。

話が面倒なのですが、ＯＨは、原点Ｏを始点とする束縛ヴェクトル、ＯＡも、原点Ｏを始点とする束縛ヴェクトルです。

ＡＢ，ＡＣというのは、束縛ヴェクトルではなく、一般ヴェクトルで、
ヴェクトルＡＢは、点Ａから点Ｂに伸ばしたヴェクトルのことで、こういうヴェクトルは、束縛ヴェクトルＯＡとＯＢを使って、ＡＢ＝ＯＢ－ＯＡと書くことができるのです。

ＡＣも同じように、ＡＣ＝ＯＣ－ＯＡと書くことができるのです。

だから、ＯＨ＝ＯＡ＋k*ＡＢ＋L*ＡＣ　という式は、ヴェクトルの（成分の）式に、もうなっているのです。だから、成分の加算などで、計算できるのです。

ヴェクトルの成分としては、

ＯＨ＝（ｘ、ｙ、ｚ）　　……これは、ｘ、ｙ、ｚが何かが問題で、まだ分かりません。これは、原点Ｏを始点とする束縛ヴェクトルです。

ＯＡ＝（１，１，１）　これは、ＯからＡに伸ばした束縛ヴェクトルで、成分は（１，１，１）になります。

ＡＢ＝ＯＢ－ＯＡ＝（２，３，４）ー（１，１，１）＝（１，２，３）　　……Ｂ（２，３，４）から

ＡＣ＝ＯＣ－ＯＡ＝（３，－２，０）ー（１，１，１）＝（２，－３，－１）　　……Ｃ（３，－２，０）から

だから、ヴェクトルの成分で書くと：

ＯＨ＝ＯＡ＋k*ＡＢ＋L*ＡＣ＝（１，１，１）＋k*（１，２，３）＋L*（２，－３，－１）　となるのです。

これを計算すると、

ＯＨ＝（１，１，１）＋（ｋ，２ｋ，３ｋ）＋（２Ｌ，－３Ｌ，－Ｌ）
＝（１＋ｋ＋２Ｌ，１＋２ｋ－３Ｌ，１＋３ｋ－Ｌ）

となるのです。

もう一度、言いますと、

座標を表すＡ＝（１，１，１）
束縛ヴェクトルＯＡを表すＯＡ＝（１，１，１）
一般ヴェクトルＡＢを表すＡＢ＝（１，２，３）

この三つは、同じ（ｈ，ｉ，ｊ）のような形をしていますが、意味が違っているのです。そこが、よく分かっていないと、ヴェクトルの式が理解できません。

この三つの違いをよく考えてください。

（束縛ヴェクトルは、固定ヴェクトルとも言います。始点とか終点が、どこか決まっているヴェクトルです。一般ヴェクトルと呼んでいるのは、普通、ヴェクトルといっているもので、このヴェクトルが、始点をどこかに固定されると、固定ヴェクトルになるのです）。

回答No.2

rei00

既に回答がありますが，念のために補足です。

> 点Ａ (1,1,1)，点 B (2,3,4)，点 C (3,-2,0)

　ですから，

　　ＡＢ＝ＯＢ－ＯＡ
　　　　＝（2, 3, 4）－（1, 1, 1）
　　　　＝（2－1, 3－1, 4－1）
　　　　＝（1, 2, 3）

　　ＡＣ＝ＯＣ－ＯＡ
　　　　＝（3, -2, 0）－（1, 1, 1）
　　　　＝（3－1, -2－1, 0－1）
　　　　＝（2, -3, -1）

　です。

回答No.1

ss_miyabi

AB、ACベクトルはそれぞれAB=(1,2,3)、AC=(2,-3,-1)
ですね。
OA+AB+AC=(1,1,1)+(1,2,3)+(2,-3,-1)
ですね。
ｋAB=(k,2k,3k)、ＬAC=(2L,-3L,-L）
です。
すると
OH=OA+ｋAB+ＬAC=(1,1,1)+(k,2k,3k)+(2L,-3L,-L)
=(1+k+2L,1+2k-3L,1+3k-L)
どうでしょうか。