竹ひごを曲げたときにできる曲線の式

質問

長さLの竹ひごの両端を距離l(l<L)だけ離れた2点に固定した場合に、竹ひごがたわんでできる曲線の式を知りたいです。
ただし、固定された点での接線は2点を結ぶ線分に平行とします。

このような曲線の式は一般に知られているものならばご存知の方に教えていただきたいと思い、こちらに質問させていただきました。どなたかお教えいただけますと幸いです。よろしくお願いします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

弾性体でできた棒を、各点で支持して曲げると、スプライン曲線になります。つまり、区分的に、３次関数で表される曲線になります。
このとき、弾性体に蓄えられる歪みエネルギー（曲率の２乗平均に比例）が最小になります。

ちなみに、普通、座屈というときには、座屈（グニャって折れ曲がる）ってしまう荷重（座屈荷重）だけを問題にしていて、座屈後にどのような形になるかは考えてません。なんで、実際の座屈後の棒の形は、sinになるわけではありません。
これは、座屈荷重を求める基礎方程式で、各点の変位yとして、縦方向の変位しか考えていないためです。（座屈荷重だけを求めるならこれで十分なので）
座屈後は、グニャって折れ曲がるわけなので、各点の変位は、斜めの方向になるので、座屈後にはこの式は適用できないです。

お礼

アドバイスありがとうございます。
ANo.1のURLでは、yがsin関数で表されていたので、sinカーブなのかと思っていましたが、そんなに単純な話でも無いということですね。
曲げた結果がスプライン曲線になるということは、長さがlになるスプライン曲線の式を求める必要があるわけでしょうか。これは難しそう。
いただいたアドバイスを参考に、自分でももう少し考えてみます。
まずはお礼までに。

回答No.4

sparrow32h

＞ただし、固定された点での接線は2点を結ぶ線分に平行とします。
この条件は無理でしょう。応力が集中して折れます。

お礼

回答ありがとうございます。
無理な問題設定であったかもしれない、ということも考えてみたいと思います。

回答No.3

jyunk2006

竹ひご（長さL［m］）の自重でたわむのであれば、
w（x）＝px/24/E/I　*　（x^3 - 2Lx^2 + L^3 ）
で求められるでしょう。
ここで
E：竹ひごのヤング率［N/m］
p：竹ひごの単位長さあたりの質量　*　9.806　［N/m］　
I：竹ひごの断面形状から決まる定数　［ｍ^4］
（=πd^4/64　（直径d［m］の円形の場合））
ｘ：位置［m］　片側の支点を0、もう片側の支持点をL
w（x）：位置ｘにおけるたわみ量［ｍ］
です。

・等分布荷重（自重）を受ける両端支持はりの公式です。この式は4次関数ですね。
・一応、木材のヤング率Eは10＾9［N/m］（木目方向）ですが、
木は非線形性が強く、木目方向によっても性質が違うのでアバウトな値です。
竹ひごも同じくらいのオーダーではないでしょうか・・・調べてください。
公式の詳細は機械工学の材料力学の教科書を参照されると良いかと思います。（支持方法によって式の形は変わってきます。）

ちなみに、
たけひごの長さ方向に荷重が加わっていないのであれば、座屈ではありません。
上式はあくまで近似式であり、目安です。

お礼

ご丁寧なアドバイスに感謝いたします。ありがとうございます。
問題設定としては、竹ひごが自重でたわむのではなく、
長さLの竹ひごを無理やり両端から押し縮めて長さl(小文字のエル)にすることを想定しています。もちろん縮むわけはないので「座屈」をして、グニャリと曲がるでしょうから、その曲がってできる曲線の式をLとlで表せないか、ということを考えています。
質問の書き方が不十分でしたらお詫びいたします。

回答No.1

chiezo2005

これは「座屈」（ざくつ）という問題です。
以下のURLを参照ください。

参考URL：

http://gspsun1.gee.kyoto-u.ac.jp/nchml/kouriki/kou99/node56.html

お礼

迅速な回答ありがとうございます。
お教えいただいたURLが大変参考になりました。
単純なsinカーブになるようですね（私の理解が誤っていたら申し訳ないですが）。
ありがとうございました。