図形と式

質問

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円(x-3)^2+(y-4)^2=4とy=x+3について、次の問に答える

“→”で書いているのは、私が思うところ・・・です。

１．円と直線の交点の座標を求めよ。
　　→これは、片方の式をもう一方の式に代入するのでしょうか？
２．円が直線から切り取る線分の長さ、（２交点間の距離）を求めよ
３．（２．）の線分を直径とする円の方程式を求めよ。

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つぎの２次曲線の接線のうち、点（０，３）を通るモノと、
そのときの接線を求めよ。

１．x^2+y^2=5
２．x^2/2+y^2/3=1
３．y^2=2x
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解説のほう、読ませていただきまして、その問題、次の問題と取り組んでいきたいと思っています。よろしくお願いいたします。

回答No.3

mmky

#2mmkyです。
[微積については、まだ習っていないので、よろしくお願いいたします。]
ですか。＃２は忘れてください。

つぎの２次曲線の接線のうち、点（０，３）を通るモノと、
そのときの接線を求めよ。

１．x^2+y^2=5
接線の方程式は,X*x+Y*y=5, (X,Y)=(0,3) だから　3y=5, y=5/3
これを円の方程式に代入すると、x＾2=5-(25/9)=20/9 だから
x=2√5/3 ,X*x+Y*y=5,→{2√5/3}X+{5/3}Y=5
{5/3}Y=-{2√5/3}X+5, 接線の式は、Y=-(2/√5)X+3

２．x^2/2+y^2/3=1
接線の方程式は,X*x/2+Y*y/3=1, (X,Y)=(0,3) だから　3y/3=1, y=1
これを楕円の方程式に代入すると、x＾2=2{1-(1/3)}=4/3　だから
x=2/√3 ,X*x/2+Y*y/3=1,→{1/√3}X+Y/3=1
接線の式は、Y=-{√3}X+3

３．y^2=2x
接線の方程式は, Yy-X=x
X=0,Y=3 3y=x, y=x/3, x^2/9=2x, x=3√2
Y(√2)-X=3√2 →Y=X/√2+3
接線の式は, Y=X/√2+3

そのほかの考え方
接線の方程式は接線の傾きをaとすれば、Y-y=a(X-x)
Y-y=a(X-x) が点(0,3)を通るのだから,3-y=ax, y=-ax+3---(1)
ところがこの接線は以下の２次曲線の接線であるので、
その接点は(1)式と各式を同時に満足するので、
１．x^2+y^2=5
x＾2+(-ax+3)＾2=5
x＾2{1+a＾2}-6ax+4=0
解の判別手段を使って、
√{36a＾2-16{1-a＾2}=0
{36a＾2-16{1+a＾2}}=20a＾2-16=0,
a＾2=4/5, a=±√(4/5)
y=-(±)2√(1/5)x+3

参考程度まで

回答No.2

mmky

つぎの２次曲線の接線のうち、点（０，３）を通るモノと、
そのときの接線を求めよ。

１．x^2+y^2=5
２．x^2/2+y^2/3=1
３．y^2=2x

これは、接線の方程式がわからないと解けませんね。
接線の方程式は、Y-y=y'(X-x)--（a）　ですね。
傾きは、
(1) 2x+2yy'=0, y'=-x/y
(2) x+2yy'/3=0, y'=-3x/2y
(3) 2yy'=2, y'=1/y
ですね。(a)に傾きを入れて、接線の接点は同じく方程式1,2,3の点であることから解いていきます。
参考程度まで

回答No.1

hige-otoko

はじめまして。

上の問題について。
１．円の方程式にｙ＝ｘ＋３を代入すればｘについての２次方程式になるので、そこから円と直線の交点２つがでると思います。
２．円と直線の交点２つがでたので、そこから三平方の定理などから線分の長さは出ると思います。
３．円の中心は（２．）の線分の中点になるのではないでしょうか。中点の座標が中心の円を考えてみてください。半径は（２．）の答えの半分の２乗になると思います。

下の問題について。
とりあえず３本の式でどれが（０，３）を通るかを見分けてください。
そこからは微分と接線の方程式だと思うのですが

それでは、がんばってください。

補足

微積については、まだ習っていないので、よろしくお願いいたします。