曲線上の点を通る接線

質問

（１）曲線y=x^3+ax^2+bxが曲線上の点（x、y）=（1/3,-8/27）において、y=-2/3x-2/27を接線にもつときの
aとbの値を求めよ

（２）y=x^2+x+１のグラフに点A（１、２）から２本の接戦が引ける。この２本の接線の方程式を求めよ。

この２つ問題で疑問なんですが、曲線の接戦は交わる点が１つではなく２つでもいいのですか？

（１)は導関数から、傾きを出して、もう一方の式の傾きと＝の式をつくり、a,bの値を求める。
ここで疑問なのですが、なぜ傾きが同じかということです。
イメージ的には下の図のようになるのでしょうか？（自分で書いてみました。）

（２）も同じで好転は２つでもよいのですか？

教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

shuu_01 · ベストアンサー

ミスタイプを訂正します

誤：節する

正：接する

PS: 僕は毎日のビールを節した方が良いと思います

お礼

回答ありがとうございました。
PS笑いました笑

回答No.4

shuu_01

（２）の解き方

点（１、２）を通る直線は、y 軸に平行ではないので

y － 2 ＝ a（x － 1）

y ＝ ax － a ＋ 2

とおくことができます

これが y=x^2+x+１のグラフ と接するということは、

x^2 + x+１＝ ax － a ＋ 2

整理して

x^2 ＋（1 － a）＋ a － 1 ＝ 0

が １つの解しかないことです
（２つ解があると、接するのではなく、２点で交わってしまいます）

１つしか解がないので、

判別式　（1 － a）^2 － 4（a － 1）＝ ０

（a － 1）^2 － 4（a － 1) ＝ 0

（a － 1）（a － 5）＝ 0

a＝ 1 あるいは a ＝ 5

となり、各々の直線の式は

y ＝ x ＋ 1
y ＝ 5x － 3

となります

【答え】
y ＝ x ＋ 1
y ＝ 5x － 3

お礼

回答ありがとうございます。
この問題は別の方法で解きました。
なぜなら、なぜ2次方程式の判別式が使えるのか疑問だったからです。
2次方程式なら、なんでも判別式が使えるのでしょうか？
別の問題でこの疑問にあたったので、別の形で質問するかもしれません。
よければ答えてください。

回答No.3

shuu_01

（１）の解き方

y=x^3+ax^2+bx　が 点（1/3,-8/27）　を通るので

-8/28 ＝ 1/27 ＋ a / 9 ＋ b / 3
整理すると a ＋ 3b ＋ 3 ＝ 0　　(1)

y=x^3+ax^2+bx　を微分して

y' ＝ 3x^2 ＋ 2ax ＋ b

点（1/3,-8/27）での傾きが － 2/3 ですので

1/3 ＋ 2/3 a ＋ b ＝ － 2/3
整理すると　
2a ＋ 3b ＋ 3 ＝ 0　　(2)

(1)、(2) を解くと、a = 0、b ＝ －1

それを代入し、y ＝ x^3 － x

【答え】a = 0、b ＝ －1

お礼

回答ありがとうございました。
綺麗なグラフをつけて頂き感謝します。○┓ペコリ

回答No.2

yyssaa

この２つ問題で疑問なんですが、曲線の接戦は交わる点が１つではなく２つでもいいのですか？

＞三次曲線の接線が接点以外の交点をもつことはあるが、
二次曲線の接線が接点以外の交点をもつことはない。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

shuu_01

【１】この２つ問題で疑問なんですが、
　　　曲線の接戦は交わる点が１つではなく２つでもいいのですか？

《解答》
　　　（１）は x の３次式ですので、（1/3,-8/27）において節するとしても
　　　　　　もう１点で交わることになります
　　　（２）は x の ２次式ですので、接戦でのみ節し、他に交点はありません

【２】（１)は導関数から、傾きを出して、もう一方の式の傾きと＝の式をつくり、
　　a,bの値を求める。
　　ここで疑問なのですが、なぜ傾きが同じかということです。
　　イメージ的には下の図のようになるのでしょうか？（自分で書いてみました。）

《解答》節するということは、同じ傾きを持っています
　　逆に傾きが違うと、「節する」のでではなく、「交わって」しまいます

　　今回の問題とは別のグラフになってますが、「節する」の理解はそんな感じ
　　です

【３】（２）も同じで好転は２つでもよいのですか？

《解答》（２）は x の ２次式ですので、１点で節すると、他に交点はありません

お礼

回答ありがとうございました。
タイプミス申し訳ありませんでしたm(_ _)m
解けるようになりました。