xy平面上で点(0,1)を通る曲線Ｃ上

質問

の任意の点PにおけるＣの接線が2直線y=±xと交わる点をQ,RとするときPは常に線分QRの中点になっている
このような曲線Ｃの方程式を求めよ

点Pのx座標をtとして接線の方程式を出し、それと2直線y=±xの交点Q,Rを出してそれぞれのx座標の和が2tと同じという式を出し整理した結果
2t{1-(f'(t))^2}=2f'(t){f(t)-tf'(t)}
という式が成り立つのは分かりましたが、答えによればこの式は2t=2f(t)f'(t)となるらしいのですがそうなる理由がわかりません
教えてください

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

2t{1-(f'(t))^2}=2f'(t){f(t)-tf'(t)}

2で割って

t{1-(f'(t))^2}＝2f'(t){f(t)-tf'(t)}

展開して

t-tf'^2=f'f-tf'^2

tf'^2は両辺にあり消えるので

t=f'f

これは正確には微分方程式です。

解き方は以下の通り

f'f=d(f^2)/dt/2

d(f^2)/dt/2=t

d(f^2)/dt=2t

f^2=t^2+c

Cは(0,1)を通るので

c=1

よって曲線Cの方程式は

f(x)=x^2+1

お礼

なるほどわかりました
ありがとうございました

回答No.1

alice_44

そういう質問だったんですか。

両辺の括弧 ｛ ｝ を分配法則で開いて、
両辺に同じ項が現れたヤツを相殺すれば、
その変形になります。

変形の過程で、微分に関する知識は
一切使いません。

補足

{1-(f'(t))^2}
はともかく
{f(t)-tf'(t)}
は分解出来ますか？