ド・モルガンの法則について教えてください。

質問

１から１００までの自然数の中で次の条件をみたすものの個数を求めよ
この問題の
６でも９でも割り切れない物。
と言う問いで疑問に思うことがあるので教えてください。

　６で割り切れず、かつ９でも割り切れない物のことだから
　AバーかつBバーということになる
　表現が間違っているかもしれません。
　と解説には書かれているのですが、理解ができません。
　６で割り切れず、または９でもわりきれない物とかいてはだめなので　しょうか。
　ちなみにAまたはBの否定まではわかっているのですが、
当方バカなもので
AまたはBの否定はAでなく、かつBでない。
AかつBの否定はAでないか、またはBでない。
と言う日本語がよく分かりません。

こころのやさしいかた教えてください。

回答No.1

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

> ６で割り切れず、または９でもわりきれない物とかいてはだめなので　しょうか。

例えば、12 は、「９で割り切れない」を真にしてしまうので、これに該当してしまいます。

一方、「６で割り切れず」かつ「９で割り切れない」というは偽になります。12はこの両方を満たしませんので。（９で割り切れない）

ＡまたはＢといったら、どちらか一方が満たされれば真。
ＡかつＢといったら、両方とも満たされたときのみ真。

ということがわかれば違いがわかるはずです。

> AまたはBの否定はAでなく、かつBでない。

集合の絵を描いてみればわかりやすいと思います。

よくある、○が二つ交わった形の絵です。
一つの○がＡの集合、もう一つがＢの集合とします。
100以下の自然数をこの図の中に書き込んで分類できますね。

ＡまたはＢということは、○が二つとも塗りつぶされた領域です。
その否定は、その外側。
外側の領域はＡの外側であり、かつＢの外側。
つまり、「Ａの否定、かつ、Ｂの否定」

> AかつBの否定はAでないか、またはBでない。

同様に、○を二つ書いて考えます。
ＡかつＢは、二つの○が重なった小さい領域です。
この否定は、その領域以外のところ。
一方、Ａでない、または、Ｂでない、に相当する領域は、
Ａの○の外側にあるか、または、Ｂの○の外側にある領域。
要するに交わった小さい領域の外なら、どちらかの○の外側なのでこれを満たします。

お礼

回答ありがとうございます。
なんとなくですが、分かりました。
ありがとうございます。

回答No.3

----------

>AかつBだったら、英語と数学両方好きな人と言うことですよね。
>その否定は、どういう日本語で表すのでしょうか。

お礼にかかれたことに答えますね。
日本語で考えるとわかると思うんだけど。。。

「両方好き」じゃない人というのは、
どちらかは嫌いという人ですよね。

英語が嫌いまたは数学が嫌い、
つまり、AでないまたはBでない、ということです。

お礼

回答ありがとうございました。
理解ができました。

回答No.2

----------

ＡとＢに関しては、次の４パターンしかありません。
(1)Ａであり、Ｂでもある
(2)Ａではなく、Ｂではある
(3)Ａではあるが、Ｂではない
(4)Ａでもないし、Ｂでもない

Ａであるかないか、Ｂであるかないか、
それぞれ２種類あり、ＡとＢに関してなので
４パターンあるというのはわかると思います。

このとき、問題文にあるように
「ＡでもＢでもない」というのは
上の４パターンのうち、(4)しかありません。

もし、「Ａでないか、またはＢでない」を考えてしまうと、
(2)(3)(4)の３つが含まれてしまいます。

なぜ(2)が入るかを考えると
(2)は「Ａでないか、またはＢでない」の「Ａではない」
という条件を満たしているからです。
同様に(3)も「Ａでないか、またはＢでない」に入ります。
ＡでないかＢでないかどちらかが成り立てばいいので
(4)のどちらも成り立たない、というのももちろん含まれます。

ということで、６で割り切れない、または９で割り切れない
と書くのは間違いだとわかります。

>AまたはBの否定はAでなく、かつBでない。
>AかつBの否定はAでないか、またはBでない。
を理解するには、数学じゃなくて、
日常使う言葉で考えてみるとどうでしょう。

例えば、A=数学が好き、B=英語が好きとすると、
AまたはBというのは、数学か英語かどっちかは好きということ。
否定とは、それ以外全部を指すので、
「どっちかは好き」の反対は「どっちとも嫌い」
つまり、否定は「Aでなく、かつBでもないとなります。

AかつBに関しても同様です。

数学的な話だと混乱するので
日常で使うものでおきなおすと少しはわかりやすくなるのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。
AかつBだったら、英語と数学両方好きな人と言うことですよね。
その否定は、どういう日本語で表すのでしょうか。