確率の問題 高校レベル分かる方教えてください！！

質問

問題
1～6まで目があるさいころをn回投げ、出たn回の積をＡｎとする。
このとき、Ａｎが6の倍数になる確率をnを用いて表せ。
ただしnは2以上の整数とする。

解答
Ａnが６の倍数となるのは２の倍数かつ３の倍数の積だから、

２か４か６の目が少なくとも1回でるという事象Ａと
３か６の目が少なくとも1回でるという事象Ｂ
とすると求める確率はAかつBである。　　　　　　　←ここが納得いきません。　
とすると余事象を考えて１－Ａ否定またはＢの否定
１－(（3/6）^2 + (4/6)^2 -(2/6)^2)が答え。

解らないところ。
＞求める確率はAかつBである。
となっていますが６はＡかＢのどちらかにあれば積は６の倍数になるのに、そのまま　ＡかつＢにしてもいいのか？？
例えばｎが２のとき　1と６が出た場合　Ａｎ=6で6の倍数となります。
でも、AかつＢは満たしていないのでは！？と疑問がでます。
どなたか数学が得意な方、教えていただけませんか？

回答No.3

y_akkie · ベストアンサー

まず簡単な例で考えてみましょう。
例えば、n=1の場合についてはそれぞれ以下のような事がいえます。

1の目が出た場合：　事象Ａも事象Ｂも起こらなかった AでないかつＢでない
2の目が出た場合：　事象Ａのみが起こった　　ＡかつＢでない
3の目が出た場合：　事象Ｂのみが起こった　　ＡでないかつＢ
4の目が出た場合：　事象Ａのみが起こった　　ＡかつＢでない
5の目が出た場合：　事象Ａも事象Ｂも起こらなかったＡでないかつＢでない
6の目が出た場合：　事象Ａと事象Ｂが同時に起こった　ＡかつＢ

よって、６の目が出た場合に限り、ＡかつＢが起こったといえるわけです。

これらを踏まえ、n=2の場合について考えてみると、事象Ａと事象Ｂが同時に
起こるためのケースとしては、１回目に出た目をX,２回目に出た目をYとする
と、(X,Y)の組み合わせによって、事象Ａ、事象Ｂに含まれる条件としては、

事象Ａ：(X,Y)　X,Yのうち少なくとも一方が2か4か6である。
すなわち、(2,k),(k,2),(4,k),(k,4),(k,6),(6,k)である。
事象Ｂ：(X,Y)　X,Yのうち少なくとも一方が3か6である。
　　　　すなわち、(3,k),(k,3),(6,k),(k,6)である。
　　　　(k=1,2,3,4,5,6)　　　　　

この場合は、(2,3),(3,2),(4,3),(3,4),(6,k),(k,6)(k=1,2,3,4,5,6)が全てＡかつＢに含まれます。考え方としては集合論と同様です。
Ａの取り得る組み合わせとＢの取り得る組み合わせの共通部分がＡかつＢに
なるわけです。よって、１回目または２回目に６が出れば、事象Ａが起こる条件も事象Ｂが起こる条件も満たしているので、質問者様が仰るとおり1と6が出た場合もＡかつＢに含まれます。

何となく、ご理解頂けましたでしょうか？

お礼

すっごく良くわかりました！！
簡単な例で考えるとおぉーーあたりまえだ！！
っと思ってしまいました。
でも凄く解りやすく教えていただいてありがとうございました！！

回答No.2

koko_u

考えている事象の全体空間がハッキリと把握できていないようですね。
n = 2 の時、事象の全体は {(1,1), (1,2), ... ,(6,6) } から成る、長さ2のベクトルの集合となります。

事象 A は (a, b) の対 a, b のどちらかに 2, 4, 6 が出現 ⇒ 積は2の倍数
事象 B は (a, b) の対 a, b のとちらかに 3, 6 が出現 ⇒ 積は3の倍数

1と6が出た場合とは 事象(1, 6) で A∩B に含まれます。出目の順番1, 6 と事象 A と B の 2つの事象を混同してしまっています。

お礼

確かに事象を混同してしまっています！！
＞事象 A は (a, b) の対 a, b のどちらかに 2, 4, 6 が出現
＞事象 B は (a, b) の対 a, b のとちらかに 3, 6 が出現
＞1と6が出た場合とは 事象(1, 6) で A∩B に含まれます。
なんとなく意味分かりました！！
n=2の場合
事象Ａ　(2,1)(2,3)(2,4)...(4,1)(4,2)....(6,1)(6,2)....　
事象Ｂ (3,1)(3,2)(3,3)...(6,1)(6,2).......
でA∩Bは上の書いてあるものだけを書くとすると
事象A(2,3)と事象B(3,2)で一つ（順番は関係ないから同じもの）
それと(6,1)(6,2)の2つ。　ってことですね！！
凄くなっとくです！！ありがとうございました！！
もしよければ僕の考えあっていたら正解！！って言ってもらえませんか？

回答No.1

rabbit_cat

結果的には、その解答であっているわけですが。

事象Ｃ：２か４の目が少なくとも1回でる
事象Ｄ：３の目が少なくとも1回でる
事象Ｅ：６の目が少なくとも1回でる
とすれば、
Anが6の倍数であるというのは、
（ＣかつＤ）またはＥ
というなら納得できますか？
そうであれば、

　（ＣかつＤ）またはＥ
＝（ＣまたはＥ）かつ（ＤまたはＥ）　　：分配律
＝ ＡかつＢ
です。

お礼

すげーーー！！
本当ですね！！感動してしまった！！初めからrabbitさんみたいな解答かいてくれたらいいのに！！
夜中なのに素早い返信ありがとうございました！！
すっきりして寝れます！！