数学の問題です。ド・モルガンの定理など

質問

数学の問題です。ド・モルガンの定理などで解くようなのですが、わかる方、教えてください。

尚、「Ａ」、「Ｂ」の否定をそれぞれ「Ａ~」、「Ｂ~」で表しています。

問１.

A~∩ B~ と(A ∩ B ) ∪ (A~∩ B) ∪ (A ∩ B~ ) の関係を示しなさい．
また，次の具体例について，この関係を検証しなさい．

A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

問２

X = A ∩ B~, Y = A~∩ B であるとき，(A~∪ B~) ∩ (A ∪ B) をX およびY で表しなさい。

回答No.1

functor · ベストアンサー

数学の問題って、書くのが大変ですよね。

でもよかった、集合の問題で。
微積の問題質問する人がいますけど、ネットで書けないので、
とても回答する気にはなれない・・・

さて、解答です。
ちょろっと計算しました。

問１

まず、ド・モルガンの定理を使うと
(A ∩ B ) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
です。これを逆に使います。

(A ∩ B ) ∪ (A~∩ B)
=(A ∪ A~) ∩ B

ここで、全体をXと置きます。
(全体をUと置くとorとごっちゃになって計算できない)

A ∪ A~ = X

よって、
(A ∪ A~) ∩ B = X ∩ B = B

結局この式は、
B ∪ (A ∩ B~ )
となります。
再度、ド・モルガンの法則を適用して、
(B ∪ A ) ∩ (B ∪ B~) = (B ∪ A ) ∩ X
= B ∪ A

(A~∩ B~) = (A ∪ B)~

だから結局、
(A~∩ B~)~ = (A ∩ B ) ∪ (A~∩ B) ∪ (A ∩ B~ )

です。
試しましょう。

(A~∩ B~)~ = ( {2, 4, 6, 8, 10}~ ∩ {1, 2, 3, 4, 5}~)~

{2, 4, 6, 8, 10}~は全体Xが {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}ですから、
{2, 4, 6, 8, 10}~ = {1, 3, 5, 7, 9}

同様に計算して、

(A~∩ B~)~ = ( {2, 4, 6, 8, 10}~ ∩ {1, 2, 3, 4, 5}~)~
= (A~∩ B~)~ = ( {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {6, 7, 8, 9, 10})~
={7, 9}~
={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

(A ∩ B ) ∪ (A~∩ B) ∪ (A ∩ B~ ) は・・・
だめだ！長すぎる！・・・自分で・・・計算してください・・・(^^;

問２

(A~∪ B~) ∩ (A ∪ B)
を計算します。
(A ∪ B)をCと置きます。

(A~∪ B~) ∩ (A ∪ B) = (A~∪ B~) ∩ C
= (A~ ∩ C) ∪ (B~ ∩ C)

(A~ ∩ C)を計算します。

(A~ ∩ C) = A~ ∩ (A ∪ B) = (A~ ∩ A) ∪ (A~ ∩ B)
= Φ ∪ (A~ ∩ B) = (A~ ∩ B)
(Φは空集合のこと)

同様に、
(B~ ∩ C)= (B~ ∩ A) ∩ φ = (B~ ∩ A)

結局、
(A~∪ B~) ∩ (A ∪ B) = (A~ ∩ B) ∪ (B~ ∩ A)
で、これは、
Y ∪ X
です。

つ・・・疲れた～ぁ！！！

お礼

ありがとうございました。よくわかりました。本当に助かりました＞＜ありがとうございます。