凸関数

質問

関数f:Ｒ→Ｒが凸関数であるとする
このとき、x1＜x2＜x3であるx1,x2,x3∈Ｒに対して、
{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)≦{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)≦{f(x3)-f(x2)}/(x3-x2)
となることを示しなさい。

ヒントに、x1＜x2＜x3から、x2とx1,x3の間にどのように成立するか、とあるのですが、さっぱりわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.3

noname#101087 · ベストアンサー

>関数f:Ｒ→Ｒが凸関数 .... x1＜x2＜x3であるx1,x2,x3∈Ｒに対して、
>{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)≦{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)≦{f(x3)-f(x2)}/(x3-x2)　となることを示しなさい。

文字表示がまぎらわしいので、凸関数の定義式を
　∀x1,x3∈[a,b],∀λ∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x3)≦λf(x1)+(1-λ)f(x3)
と書き直しておきます。

x1＜x2＜x3 について
λx1+(1-λ)x3 = x2　とおけば、
　λ= (x3-x2)/(x3-x1)
　1-λ= (x2-x1)/(x3-x1)

f が凸関数ゆえ、
　f(x2)≦λ*f(x1)+(1-λ)*f(x3)
　f(x2)-f(x1)≦(λ-1)*f(x1)+(1-λ)*f(x3) = (1-λ)*{f(x3)-f(x1)}
これに、1-λ= (x1-x2)/(x1-x3) を代入して
　{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)≦{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)

同様に、
　0≦λ*{f(x1)-f(x3)} + f(x3)-f(x2)
　λ*{f(x3)-f(x1)}≦f(x3)-f(x2)
これに、λ= (x3-x2)/(x3-x1) を代入して、
　{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)≦{f(x3)-f(x2)}/(x3-x2)

あとは、二つの不等式を連結して..... 。

お礼

詳しく途中計算を入れてくださり、ありがとうございます。
済みませんが、もう少し教えてください。
今既に上のほうで、詰まってしまいました。

>x1＜x2＜x3 について
>λx1+(1-λ)x3 = x2　とおけば、
>λ= (x3-x2)/(x3-x1)
>1-λ= (x2-x1)/(x3-x1)
こちらを私が計算すると

λx1+(1-λ)x3=x2
λx1+x3-λx3=x2
λx1-λx3=x2-x3
λ(x1-x3)=x2-x3
λ=(x2-x3)/(x1-x3)
となってしまいます。どこがおかしいのでしょうか？

それとこちらは
>1-λ= (x2-x1)/(x3-x1)

λx1+(1-λ)x3=x2
λx1+(1-λ)=x2/x3
この次なのですが
λx1+(1-λ)=x2/x3これのx1をマイナスを付けて右辺の分母分子に持っていくと
>1-λ= (x2-x1)/(x3-x1)
となる計算なのでしょうか？そうすると一番前に残ったλはどこへいったことになるのでしょうか？

問題以前に基礎過ぎて済みません。

回答No.8

noname#101087

>最後に
>>あとは、二つの不等式を連結して..... 。

この二つです。
{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)≦{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)
　　　　　　　　　　　　　{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)≦{f(x3)-f(x2)}/(x3-x2)
と重ねてみると、不等号の向きがそろっている。
これなら、二つの不等式を連結できます。

お礼

何度も質問に答えて頂きまして、ありがとうございました。
おかげで間に合いました。
とても助かりました。

回答No.7

noname#101087

>1>0≦λ*{f(x1)-f(x3)} + f(x3)-f(x2)
>　 2>λ*{f(x3)-f(x1)}≦f(x3)-f(x2)
>1>はどこから出てきたのでしょうか？

　f(x2)≦λ*f(x1)+(1-λ)*f(x3)
の左辺 f(x2) を右辺へ移項しただけ。

ですから、
>また左側の0は
>∀x1,x3∈[a,b],∀λ∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x3)≦λf(x1)+(1-λ)f(x3)
>このなかの∀λ∈[0,1]←この0から来ているのでしょうか？
は「いいえ」ですね。

お礼

ありがとうございます。
最後に
>あとは、二つの不等式を連結して..... 。
教えて頂きたいのですが…

回答No.6

noname#101087

>3>の (λ-1)*f(x1)+(1-λ)*f(x3) = (1-λ)*{f(x3)-f(x1)}
>ここの計算の場合は (1-λ)でくくって、残りのf(x3)とf(x1)を引く（足すではないのですよね）という公式？で覚えたらいいのでしょうか．

(λ-1)と(1-λ)は符号が反対です。どちらかを残して、他方にマイナスつけて中身を反転する、というふつうの演算です。

>4>5>ですが 私が代入すると
>f(x2)-f(x1)≦(x3-x2)*{f(x3)-f(x1)}
>f(x2)-f(x1)≦{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)となり
>左側に分母の(x2-x1)が付かなくなってしまうのですがどこがおかしいのでしょうか？

f(x2)-f(x1)≦(1-λ)*{f(x3)-f(x1)}　へ　1-λ= (x2-x1)/(x3-x1) を代入するのですから、(x2-x1) は無くなりません。
[注意] x2-x1 > 0　の場合、両辺を (x2-x1) で割っても不等号の向きは変わりませんけど、
両辺を (x1-x2) で割ると変わりますので、要注意。

お礼

>[注意] x2-x1 > 0　の場合、両辺を (x2-x1) で割っても不等号の向きは変わりませんけど、
>両辺を (x1-x2) で割ると変わりますので、要注意。
ありがとうございます。
もう少しお願いします。

1>0≦λ*{f(x1)-f(x3)} + f(x3)-f(x2)
　 2>λ*{f(x3)-f(x1)}≦f(x3)-f(x2)

1>はどこから出てきたのでしょうか？
また左側の0は
>∀x1,x3∈[a,b],∀λ∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x3)≦λf(x1)+(1-λ)f(x3)
このなかの∀λ∈[0,1]←この0から来ているのでしょうか？

回答No.5

noname#101087

>λ=(x2-x3)/(x1-x3)　となってしまいます。どこがおかしいのでしょうか？

間違ってはいませんよ。分母・分子とも負になるだけで、結果は同じです。
つまり、
　(x2-x3)/(x1-x3) = (x3-x2)/(x3-x1)

そのあとの 1-λ は、1 から上式の λ=(x2-x3)/(x1-x3) を差し引きすれば求まります。
つまり、
　　1-λ = 1 - (x2-x3)/(x1-x3) = (x1-x2)/(x1-x3) = (x2-x1)/(x3-x1)

お礼

ありがとうございます。
確かにそうでした！
更に稚拙な質問になっていまうのですが、もう少しお願いします。

1>f が凸関数ゆえ、
2>　f(x2)≦λ*f(x1)+(1-λ)*f(x3)
3>　f(x2)-f(x1)≦(λ-1)*f(x1)+(1-λ)*f(x3) = (1-λ)*{f(x3)-f(x1)}
4>これに、1-λ= (x1-x2)/(x1-x3) を代入して
5>　{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)≦{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)

3>の
(λ-1)*f(x1)+(1-λ)*f(x3) = (1-λ)*{f(x3)-f(x1)}
ここの計算の場合は
(1-λ)でくくって、残りのf(x3)とf(x1)を引く（足すではないのですよね）という公式？で覚えたらいいのでしょうか．

それから
3>　f(x2)-f(x1)≦(λ-1)*f(x1)+(1-λ)*f(x3) = (1-λ)*{f(x3)-f(x1)}
この = (1-λ)*{f(x3)-f(x1)}は
λ-1)*f(x1)+(1-λ)*f(x3)に対するイコールですよね？
すると
4>5>ですが
私が代入すると
f(x2)-f(x1)≦(x3-x2)*{f(x3)-f(x1)}
f(x2)-f(x1)≦{f(x3)-f(x1)}/(x3-x1)となり
左側に分母の(x2-x1)が付かなくなってしまうのですが
どこがおかしいのでしょうか？

補足

>f が凸関数ゆえ、
凸関数のときは　
f(x2)≦λ*f(x1)+(1-λ)*f(x3)
凹関数のときは
f(x2)≧λ*f(x1)+(1-λ)*f(x3)
で良いのでしょうか？

回答No.4

Tacosan

あ～, やっぱりそんな定義ね....
図形的に考えるのが簡単だと思う.
つまり, その定義は「x1 < x2 < x3 のとき, 点 (x2, f(x2)) は 2点 (x1, f(x1)), (x3, f(x3)) を通る直線より下にある」ということを意味します. これで全ての点対に対して直線の傾きを考えれば終了.

お礼

アドバイスありがとうございまいした。
解くときに、図形を考えてみたのですが、ちょっと私の能力では、まだ無理でした＾＾；
その後、アドバイス通り図形で考えてみると、おっしゃる意味がわかりました。参考になりました。

回答No.2

zk43

凸関数の定義はいくつかあると思いますが、aを固定するとき、
{f(x)-f(a)}/(x-a)
が増加関数であるとして良いと思います。
２点(x,f(x)),(a,f(a))を結ぶ直線の傾きが増加するということです。
こうすると、左側の不等式はa=x1を固定点と考え、x2<x3より成り立つ
ことが分かり、右側の不等式はa=x3を固定点と考え、x1<x2より成り立
つことが分かります。
（分子・分母の項の順番を変えて
{f(x1)-f(x3)}/(x1-x3)≦{f(x2)-f(x3)}/(x2-x3)
を考えます。）
他にも、書かれた、
∀x1,x2∈[a,b],∀λ∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x2)≦λf(x1)+(1-λ)f(x2)
という定義もありますが、これは任意の２点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))を
結ぶ線分よりも関数のグラフが下にあるということです。
これはλx1+(1-λ)x2=x3としてλ=(x3-x2)/(x1-x2)とし、これを上の
不等式に代入すると、前の定義と同じになります。
結局どちらの定義でも同じです。
他にもf(x)が微分可能ならばf’’(x)≧0ならば凸などもあります。
いずれの定義でも、下に凸な関数のグラフを描いて算式の意味すること
を描いてみると直感的には分かると思います。

お礼

色んな解き方をとても丁寧に説明をしてくださり、ありがとうございました。
今はまだ歯が立たない感じではありますが
慣れだしたら、固定点をとるやり方も解けるようにしたいと思います。
おかげで、何となくこの問題の趣旨が後で、わかってきました。
参考になりました。

回答No.1

Tacosan

ちなみに「凸関数」はどのように定義されているんでしょうか?
定義によってはほぼ一瞬で証明できたりします.

お礼

この問題が書いているレジュメには、他に何も書いていませんでした。
学校でこれと一緒に並行して使っている教科書の解説の
凸の定義は

a,b∈Ｒ，a＜bとする
関数f:[a,b]→Ｒが凸関数である　iff
∀x1,x2∈[a,b],∀λ∈[0,1],f(λx1+(1-λ)x2)≦λf(x1)+(1-λ)f(x2)

ですが、何のことやらさっぱりわかりません。
他のページの証明の解説のところでは、
テーラー展開定理も載っているのですが、これを使えば良いのかどうかもわかりません。