極座標を使え。次の2つの連続型確率変数X1,X2の確率密度関数の条件を満たす事を示せ

質問

とてもお世話になっております。

[Q]Given that the nonnegative function g(x) has the property that
∫[x=0..∞]g(x)dx=1
Show that f(x1,x2)=
2g(√(x1^2+x2^2)/(π√(x1^2+x2^2))),0<x1<∞,0<x2<∞,
zero elsewhere,satisfies the conditions for a pdf of two continuous-type
random variables X1 and X2.Hint: Use polar coodinates.

[問]非負関数g(x)は∫[x=0..∞]g(x)dx=1という性質を持つ。
f(x1,x2)=
2g(√(x1^2+x2^2)/(π√(x1^2+x2^2))) (0<x1<∞,0<x2<∞の時)
0(それ以外の時)
が2つの連続型確率変数X1,X2の確率密度関数の条件を満たす事を示せ。
ヒント:極座標を使え。

という問題です。

確率密度関数の条件は
f(x1,x2)≧0
∫[0～∞]∫[0～∞] f(x1, x2)dx1dx2 = 1
かと思いました。
前者である事は明らかなので後半を示そうとしました。
∫[0～∞]∫[0～∞] f(x1, x2)dx1dx2
=∫[0～∞]∫[0～2π]2g(r)/(πr)drdθ
から先に進めません。
どのようにして進めますでしょうか?

回答No.2

masudaya · ベストアンサー

被積分関数は
2g(√(x1^2+x2^2)/(π√(x1^2+x2^2)))
ではなく
g(√(x1^2+x2^2)/(2π√(x1^2+x2^2)))
または,
2Ag(√(x1^2+x2^2)/(π√(x1^2+x2^2)))
ではないでしょうか．（Aは定数)
例えば,上の場合であれば,
∫[0～∞]∫[0～∞] f(x1, x2)dx1dx2
=∫[0～∞]∫[0～2π]g(r)/(2πr)|J|drdθ
=∫[0～∞]∫[0～2π]2g(r)/(πr)rdrdθ
=∫[0～∞]∫[0～2π]g(r)/(2π)drdθ
=∫[0～∞]g(r)/(2π)*(2π)dr
=∫[0～∞]g(r)dr=1
となります.

お礼

有難うございました。
ついに解けました。
大変勉強になりました。m(＿ ＿)m

回答No.1

masudaya

dx1dx2=|J|drdθです.今の場合は極座標なので｜J|=rです.
こうすると,分母のrが消えます.gの前の係数2も分母に入るのではないでしょうか.そうなら結局g(r)の積分に帰着して,確率変数であることが示せます.

お礼

有難うございます。
非力ながら理解に努めております。

> dx1dx2=|J|drdθです.今の場合は極座標なので｜J|=rです.
> こうすると,分母のrが消えます.gの前の係数2も分母に入るのではないでしょうか.そ
> うなら結局g(r)の積分に帰着して,確率変数であることが示せます.

∫[0～∞]∫[0～∞] f(x1, x2)dx1dx2
=∫[0～∞]∫[0～2π]2g(r)/(πr)|J|drdθ
=∫[0～∞]∫[0～2π]2g(r)/(πr)rdrdθ
=∫[0～∞]∫[0～2π]g(r)/(π/2)drdθ

となってしまいましたが,,,

これから確率密度関数の条件を満たす事はどうやって知りうるのでしょうか?