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経済数学＜限界代替率＞
- 経済数学の２変数関数f(x1,x2)について、偏微分と限界代替率の求め方を解説します。
- 具体的な関数f(x1,x2)の例として、準線形の効用関数とコブダグラス型の効用関数について説明します。
- 微分だけでなく、効用関数や限界効用関数についても解説します。
- 経済学・経営学
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>(1)f(x1,x2)=x1+alogex2 ((x1,x2)∈Ｒ^2++,aは正の定数とする） >(2)f(x1,x2)=f(x1)^a(x2)^b ((x1,x2)∈Ｒ^2++,a,bは正の定数とする） >参考：関数を効用関数と考えて「限界代替率」を求めてみよ。 [ヒント] (1)「準線形」というのは、x2 のほうが自然対数を使っているからでしょう。Ax1+Bx2 なら「線形」と呼びますから。 (2) このタイプは「コブ・ダグラス(Cobb-Douglas)型」というようですね。(ふつうは a+b=1 の場合が多そう) まず「限界代替率」の定義は、「無差別曲線の傾き」だそうです。 無差別曲線は、 f(x1,x2) = C つまり、効用関数が想定値 C に等しくなる組み合わせ (x1, x2) を連ねた曲線です。 [参照ページ] http://www2.osipp.osaka-u.ac.jp/~jishida/dt/ch2.pdf MRS12 = -dx2/dx1 = (∂f/∂x1)/(∂f/∂x2) …限界代替率 コブ・ダグラスのほうが計算がやさしそうです。 (∂f/∂x1)=a(x1)^(a-1)(x2)^b (∂f/∂x2)=b(x1)^a(x2)^(b-1) でしたね。 計算して、参照ページと照合してみてください。
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>以下の２変数関数f(x1,x2)について (∂f)/(∂x1),(∂f)/(∂x2),(∂^2f)/(∂x1^2),(∂^2f)/(∂x2^2),(∂^2f)/(∂x2∂x1),(∂^2f)/(∂x1∂x2) をそれぞれ求めなさい。 (1)f(x1,x2)=x1+alogex2 ((x1,x2)∈Ｒ^2++,aは正の定数とする） (2)f(x1,x2)=f(x1)^a(x2)^b ((x1,x2)∈Ｒ^2++,a,bは正の定数とする） ヒント： (1)は準線形の効用関数と考えて、「限界代替率」を求めよ。 (2)は１回まず偏微分、限界効用関数が出たら、限界代替率（コブダグロス型効用関数）を求めよ。 ------------------------------- 以上が元の問題だとすると、(1), (2) について (∂f)/(∂x1),(∂f)/(∂x2),(∂^2f)/(∂x1^2),(∂^2f)/(∂x2^2),(∂^2f)/(∂x2∂x1),(∂^2f)/(∂x1∂x2) を答えれば終わりじゃないでしょうかね。 ヒントに「**** を求めよ」とあるのに回答する必要があるのでしょうか ? 「限界代替率」を求めよ、というのに答えるときは、 u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b u1(x1,x2)=a{x1^(a-1)}(x2^b) u2(x1,x2)=(x1^a)b{x2^(b-1)} MRS21 = a{x1^(a-1)}(x2^b)/[(x1^a)b{x2^(b-1)}] = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (a/b)(x2/x1) <<MRS12>> = [(x1^a)b{x2^(b-1)}]/a{x1^(a-1)}(x2^b) = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (b/a){x2^(-1)/x1^(-1)} = (b/a)(x1/x2) と順序立てて答えるべきだと思いますが..... 。 最後の MRS12 は、 MRS12 = 1/MRS21 = (b/a)(x1/x2) だけで良さそうです。
お礼
済みません、そのヒントは先生が早口で言ってたのをメモをとって、私がここで質問する為に、自分で勝手に加えて書き込みました。 本来は 以下の２変数関数f(x1,x2)について (∂f)/(∂x1),(∂f)/(∂x2),(∂^2f)/(∂x1^2),(∂^2f)/(∂x2^2),(∂^2f)/(∂x2∂x1),(∂^2f)/(∂x1∂x2) をそれぞれ求めなさい。答案には答えを導いた過程もある程度記述してください。 (1)f(x1,x2)=x1+alogex2 ((x1,x2)∈Ｒ^2++,aは正の定数とする） (2)f(x1,x2)=f(x1)^a(x2)^b ((x1,x2)∈Ｒ^2++,a,bは正の定数とする） 参考：関数を効用関数と考えて「限界代替率」を求めてみてください。 こうでした。
>MRS22 = [(x1^a)b{x2^(b-1)}]/a{x1^(a-1)}(x2^b) = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (b/a){x2^(-1)/x1^(-1)} = (b/a)(x1/x2) >これで良いでしょうか？ MRS12 ですね。 目出度く MRS21 = (a/b)(x2/x1) の逆数になりました。
お礼
設問(2)の回答の書き方なのですが 前回偏微分を書いたうえで、更に下記の通り書いたほうが良いのでしょうか？ u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b u1(x1,x2)=a{x1^(a-1)}(x2^b) u2(x1,x2)=(x1^a)b{x2^(b-1)} MRS21 = a{x1^(a-1)}(x2^b)/[(x1^a)b{x2^(b-1)}] = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (a/b)(x2/x1) MRS22 = [(x1^a)b{x2^(b-1)}]/a{x1^(a-1)}(x2^b) = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (b/a){x2^(-1)/x1^(-1)} = (b/a)(x1/x2) 前回した偏微分を書かずに上記だけを書いた場合、問題の(∂^2f)/(∂x1^2)と(∂^2f)/(∂x2^2)への回答部分が抜けてしまうことになるので、どうなのでしょうか？ （前回から専門外の方にお聞きすること自体、おかしいのはわかっているのですが、やはり疑問なので…）
>入力ミスで、MRS22ではなく、MRS12でした。 MRS12 = 1/MRS21 です。 (定義式で、分母と分子が入れかわるだけです。) >ＵＲＬの２ページは全て同じやり方なのでしょうか？ どの効用関数でも「MRS の定義」は同じです。
お礼
そういえば#1で >(2) このタイプは「コブ・ダグラス(Cobb-Douglas)型」というようですね。(ふつうは a+b=1 の場合が多そう) でしたよね。済みません。 >MRS12 = 1/MRS21 です。 >(定義式で、分母と分子が入れかわるだけです。) MRS21 =b{x2^(b-1)}*{(x1)^a}/[a{x1^(a-1)}(x2^b)] ={b(x2)^(-1)}/{a(x1)^(-1)} =(a/b)*(x1)/(bx2) これで良いのでしょうか？
補足
さっきの間違っていましたよね >分母と分子が入れかわるだけ 今意味がわかりました。 MRS22 = [(x1^a)b{x2^(b-1)}]/a{x1^(a-1)}(x2^b) = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (b/a){x2^(-1)/x1^(-1)} = (b/a)(x1/x2) これで良いでしょうか？
>MRS22は ....... MRS22 は意味がないでしょう。無理に定義式で計算すれば、常に 1 ですね。 限界代替率(marginal rate of substitution, MRS) の定義を見なおしてみて...... 。 >教えてくださったＵＲＬ（２ページのコブタグラスの例）を拝見すると，コブダグロスではなく，普通の限界代替率になっているような気がするのですが？分母分子ともに，x1,x2の乗数が入れてあるような感じなのですが． それは、コブ・ダグラス（Cobb-Douglas）型効用関数における「普通の限界代替率」です。 「普通ではない限界代替率」とは何でしょうか ?
お礼
入力ミスで、MRS22ではなく、MRS12でした。 定義を見直したのですが、 ２ページ目のトップ >第2財の第1財に対する限界代替率MRS21とするとき～ があるので 今度は、反対に、第1財の第2財に対する限界代替率MRS12があると思ったのですが… >「普通ではない限界代替率」とは何でしょうか ? 限界代替率のなかに、コブタグラス型が特例なのだと思いまして… 先生のヒントにも、(2)の設問しかコブタグラスのことは言わなかったので、(1)はコブタグラス（特例）ではなく他の（普通）やり方があるのだと思っていたのですが、 (1)も(2)と同じ方法でしたら良いのでしょうか？ もしかしてＵＲＬの２ページは 全て同じやり方なのでしょうか？ 私は、 >第２財の～ を詳しく書かれているのが >証明：～ で >例：コブタグラス～ を、限界代替率には色々やり方があって、そのなかにコブタグラスという方法がある という風に捉えていたのですが…
>途中の(x2^1)が1乗になっているのはその前の計算の乗数を、分母の(x2)^bと分子(x1)^(b-1)で消去し、分母が(x1)^(-1)になり、 乗数の-を＋にかえて、分母から分子に持っていったから、(x2^1)になるのでしょうか？ その通りです。 x^(-m) = 1/x^m ですから。
お礼
MRS22は MRS22 =b{x2^(b-1)}*{(x1)^a}/[a{x1^(a-1)}(x2^b)] 合っているでしょうか？ それから今ちょっと思ったのですが， 教えてくださったＵＲＬ（２ページのコブタグラスの例）を拝見すると， コブダグロスではなく，普通の限界代替率になっているような気がするのですが？ 分母分子ともに，x1,x2の乗数が入れてあるような感じなのですが．
>.... もしx1のほうに自然対数を使っていても、準線形というのでしょうか？（どちらかに対数を使っていたら、準線形ということなのでしょうか？） 「準線形」というのは正式な呼び方じゃないと思います。 f(x1, x2) = Ax1+Bx2 なら、f は x1, x2 の「線形」結合です。 f(x1, x2) = Ag(x1)+Bh(x2) なら、f は g, h の「線形」結合ですけど、x1, x2 の「線形」結合ではありません。これを x1, x2 の「準線形」結合と言ったのでしょう。 >足し算ではなく、掛け算の場合はコブ・タグロス型になる、ということなのでしょうか？ そうなのでしょう。対数をとると、Log については「線形」になりますが.... 。 u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b → Log{u(x1,x2)} = a*Log(x1)+ b*Log(x2) >u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b >u1(x1,x2)=a{(x2)/(x1)}^b >u2(x1,x2)=b{(x1)/(x2)}^b >MRS21=(a/b)*[{(x2)/(x1)}^b/{(x1)/(x2)}^a]=(a/b)*{(x2)/(x1)}^b-a？？？ 偏微分の結果はミスです。 参照ページは b=1-a の場合なので、この関係を無視してふつうに計算します。 u1(x1,x2)=a{x1^(a-1)}(x2^b) u2(x1,x2)=(x1^a)b{x2^(b-1)} MRS21 = a{x1^(a-1)}(x2^b)/[(x1^a)b{x2^(b-1)}] = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (a/b)(x2/x1) これに b=1-a の関係を代入したのが参照ページの結果です。
お礼
>MRS21 = a{x1^(a-1)}(x2^b)/[(x1^a)b{x2^(b-1)}] = (a/b){x1^(-1)}(x2^1) = (a/b)(x2/x1) 途中の(x2^1)が1乗になっているのは その前の計算の乗数を、分母の(x2)^bと分子(x1)^(b-1)で消去し、分母が(x1)^(-1)になり、 乗数の-を＋にかえて、分母から分子に持っていったから、 (x2^1)になるのでしょうか？
お礼
参照ＵＲＬとアドバイスありがとうございます。 >(1)「準線形」というのは、x2 のほうが自然対数を使っているからでしょう。Ax1+Bx2 なら「線形」と呼びますから。 この場合、もしx1のほうに自然対数を使っていても、準線形というのでしょうか？（どちらかに対数を使っていたら、準線形ということなのでしょうか？） >(2) このタイプは「コブ・ダグラス(Cobb-Douglas)型」というようですね。(ふつうは a+b=1 の場合が多そう) このタイプというのは、足し算ではなく、掛け算の場合はコブ・タグロス型になる、ということなのでしょうか？ 教えて頂いた参照ページでしてみました。 良かったらご教授お願いします。 u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b u1(x1,x2)=a{(x2)/(x1)}^b u2(x1,x2)=b{(x1)/(x2)}^b MRS21=(a/b)*[{(x2)/(x1)}^b/{(x1)/(x2)}^a]=(a/b)*{(x2)/(x1)}^b-a？？？ ※括弧が増え過ぎて、記号の書き方が分からなかったのですが、これ[]は、{}の更に括弧という意味で入れました。 計算経過なのですが (a/b)*[{(x2)/(x1)}^b/{(x1)/(x2)}^a]=？ 参照ページにもある {α/(1-α)}*[{(x2)/(x1)}^(1-α)/{(x1)/(x2)}^α]={α/(1-α)}*(x2)/(x1) の計算の仕方で既に解らずひっかかってしまいました＾＾；基本的なところで済みません。。。 参照ページで言うと とにかく前に{α/(1-α)}＜名前何て言うのでしょうか）を持ってきて、 次に{(x2)/(x1)}*{(x2)/(x1)}と書き換え、 そして乗数を計算？するのでしょうか？ その乗数はどうやって計算したら良いのでしょうか？