関数f(x)が区間Ｉで下に凸である事を利用した証明

質問

関数f(x)が区間Iで下に凸である時、Iの任意のn個の点x1,x2,・・・xnに対して、不等式f((x1+x2+・・・+xn)/n)≦(f(x1)+f(x2)+・・・+f(xn))/nが成り立つ事を示せ、という問題で、下に凸である事の定義x1<x<x2で(f(x)-f(x1))/(x-x1)≦(f(x2)-f(x))/(x2-x)をどうやってつかってやれば証明がうまく出来るのでしょうか？ヒントをください。お願いします。

回答No.3

koko_u_ · ベストアンサー

>次に、nのとき正しいとして、2nのとき正しいことを示す。
普通に n のときに正しいとして n+1 を示せばいいんじゃね？

x_i ∈ I なら (x_1 + … + x_n)/n ∈ I 故に

f({(x_1 + x_2 + … + x_n + x_{n+1})/(n+1)})
＝f( (n/(n+1))*{(x_1 + x_2 + … + x_n)/n} + (1/(n+1))*x_{n+1} )
≦ (n/(n+1))f((x_1 + x_2 + … + x_n)/n) + (1/(n+1))f(x_{n+1})

だべ？

お礼

結局、私もその考え方で解きました。式変形して、n=kの時を利用するという発想はなかなか思いつきませんでした。

下に凸の時に成り立つ不等式は絶対利用するとは思っていたのですが・・・。

アドバイスありがとうございました！！！！

回答No.2

zk43

まず、x=(x1+x2)/2として、下に凸であることの定義にあてはめてみる
と、f((x1+x2)/2)≦(f(x1)+f(x2))/2がでる。すなわち、n=2のときは
正しい。
次に、nのとき正しいとして、2nのとき正しいことを示す。
n=2のとき正しいことも使う。
f((x1+…+xn+x(n+1)+…x2n)/2n)
=f(((x1+…+xn)/n+(x(n+1)+…+x2n)/n)/2)
≦(f((x1+…+xn)/n)+f(x(n+1)+…+x2n)/n))/2
≦((f(x1)+…+f(xn))/n+(f(x(n+1))+…+f(x2n))/n)/2
＝(f(x1)+…+f(xn)+f(x(n+1))+…+f(x2n))/2n
よって2nのとき正しい。

次にnのとき正しいとして、n-1のとき正しいことを示す。
x1,…,x(n-1)に対してxn=(x1+…+x(n-1))/(n-1)とおく。
f((x1+…+xn)/n)≦(f(x1)+…+f(xn))/n
において、
(x1+…+xn)/n＝(x1+…+x(n-1))/n+xn/n
＝(n-1)xn/n+xn/n
＝xn
であるから、
f(xn)≦(f(x1)+…+f(xn))/n＝(f(x1)+…+f(x(n-1)))/n+f(xn)/n
右辺のf(xn)/nを左辺に移項して整理すると、
f(xn)≦(f(x1)+…+f(x(n-1)))/(n-1)
xn=(x1+…+x(n-1))/(n-1)であったので、
f((x1+…+x(n-1))/(n-1))≦(f(x1)+…+f(x(n-1)))/(n-1)
よってn-1のとき正しい。

以上から、n=2のとき正しい、nのとき正しいならば2nのとき正しい、
nのとき正しいならばn-1のとき正しい、が言えた。
これらにより、
n=2のとき正しい→n=4のとき正しい→n=3のとき正しい
n=4のとき正しい→n=8のとき正しい→n=7,6,5のとき正しい
・・・
と順繰りに正しいことが言える。
つまり、
nのとき正しい→2nのとき正しい→2n-1,2n-2,2n-3,…,n+1のとき正しい
という繰り返しが、n=2から出発して無限に繰り返され、任意の自然数
に対して正しいことが言える。
数学的帰納法の変型判みたいなものです。

お礼

へぇ、帰納法にもこういう考え方があったんですね！！

そういう使い方の発見があってよかったです。

結局私は、n=1のとき、n=kのとき成り立つと仮定、n=k+1のとき、というオーソドックスな方法でときました。

新しい発見ありがとうございました！！

回答No.1

koko_u_

>ヒントをください。お願いします。
数学的帰納法でどうぞ。