凸関数の問題
凸集合と凸関数に関する問題です。
問題
x,y∈R^nの内積を<x,y>=x´yで定義する。R^n上の凸集合Cに関して
関数fを
(ただし、x´はxの転置行列)
f(x)=sup{<x,y>|y∈C}
とおく。
(1)fが凸関数であることを示せ
fのエピグラフepi fがR^(n+1)上の凸集合であるとき、fが凸関数
であることから考えようとしたのですが解けません。
ちなみに、fのエピグラフepi fの定義は
epi f={(x,μ)|x∈S,μ∈R,μ≧f(x)}
fは、その領域がS∈R^nであり、値は実数か±∞をとるような関数
(2)n=1としたとき、C=[0,1]の場合fはどうなるか?
(1)をどう生かしていけばいいのかわからない。
(3)n=2として、C={(y[1],y[2]|y[1]+y[2]≦1、y[1],y[2]≧0}
のとき、fの等高線をR^2上ではどうなるか?
Cの領域の図示はしましたが、これをどうするのか扱いが理解できない。
以上なのですが、何とか理解したいのでよろしくお願いします。