ヒントを下さい・・

質問

a,b,cはa＞0,b＜0,c＞0の定数

x,yはa/x＋b/y≧c・・(1)を満たす実数の変数である。

このとき

F=ax＋by (x＜a/c,y＞-b/c)

の最大値が存在するための条件を求め、その条件下での
Fの最大値を求めよ。

という問題なのですが、
最大値が存在するための条件・・という所が
ピンときません。
恐らくこの問題は(1)にx^2
をかけてF式のaｘに(1)を代入し、2次関数のグラフ絡みの問題に帰着させる
のだと思うのですが、
もう数学苦手で全然分かりません！

回答No.2

info22 · ベストアンサー

グラフを描くソフトでマニュアルシミュレーションして色々調べましたが
最大値は存在しないと思います。
上限値（上界の最小値）は存在します。
上限値は
x=a/c, y=-b/cのときFの上限値F(a/c,-b/c)=(a^2)/c-(b^2)/c={(a^2)-(b^2)}/c
最大値を持たないのは、x＜a/c,y＞-b/cという領域の境界に等号が入っていないため、(x,y)=(a/c,-b/c)の座標点Pに限りなく近づけますが、Pの座標点の(x,y)の値をとり得ないからです。ですから、最大値がなく、上限値だけがあると言うわけです。

limit[(x,y)→(a/c,-b/c)] F={(a^2)-(b^2)}/c ←上限値です。
上限値は式から分かるように、a（＞0）を大きくし、b（＜0）の絶対値をゼロに近づけ、c(＞0)もゼロに近づければどんどん大きくなります。

たとえば、
a=5,b=-0.2,c=0.2とすれば、x=a/c=25,y=-1でF=125+0.2=125.2(上限値)
となります。この上限値を与える(x,y)=(25,-1)は条件を満足しませんが、
(x,y)=(25-0.01,-1+0.01)のような実数の組が取れこのときのFは上限値より少し小さなF=125.148と上限値に近い少し小さな値をとることができます。

最大値を持つためには、上限値を最大値にできるように
F=ax＋by (x＜a/c,y＞-b/c) （最大値は持たない、上限値は持つ）
を
F=ax＋by (x≦a/c,y≧-b/c)と等号を入れることで上限値＝最大値となります。最大となる時は x＝a/c,y＝-b/cの時です。

現在の質問の問題では最大値が存在しないため、「最大値が存在するための条件」が存在しない。したがって最大値も存在しない。と言うのが解のようです。

＃
＞x,yはa/x＋b/y≧c・・(1)を満たす実数の変数である。
この式を等号でなく不等号にしたことで問題をさらに難しくしていますね。つまり、a/x+b/y=cとF=ax+by=kの交点の存在条件が使えなくなってしまいます。最大値を与える実数の組(x,y)がa/x+b/y=cを満足しなくても
a/x+b/y＞cを満足していればいいことになって単純に(x,y)の実数条件が使えなくなってしまいます。

お礼

ありがとうございました。
見た目以上に難しい問題ですよね・・。

回答No.1

noname#101087

>a,b,cはa＞0,b＜0,c＞0の定数
>x,yはa/x＋b/y≧c・・(1)を満たす実数の変数である。このとき
>F=ax＋by (x＜a/c,y＞-b/c)
>の最大値が存在するための条件を求め、その条件下でのFの最大値を求めよ。

とりあえず、式(1) で等号のみにして
　　a/x＋b/y = c　　…(1)'
の場合の吟味だけ。

式(1)' を強引に y = f(x) の形に変形して、それを F=ax＋by へ代入してみると、
　　F(x) = ax+(b^2/c)+{ab^2/(c(cx-a)}
になるようです。

これならば、問題で言及されている定数の条件群、
　　a＞0, b＜0, c＞0, x＜a/c, y＞-b/c
を満たしていれば「最大値が存在する」ようですね。

お礼

ありがとうございました。
見た目以上に難しい問題ですよね・・。