教えてください。

質問

(1)関数f(x)=ax^3-3ax^2+b (a＞0)の区間-2≦x≦3における最大値が9、最小値が-11のとき、定数a、bの値を求めよ。

(2)3次関数y=x^3-3x^2-8x+4と直線y=x+aが異なる3点で交わるような定数aの値の範囲を求めよ。

(1)と(2)はそれぞれ関係のない別々の問題です。
授業では殆どスルーだったのでよくわかりません。
すみませんが教えてください。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞(1)関数f(x)=ax^3-3ax^2+b (a＞0)の区間-2≦x≦3における最大値が9、最小値が-11のとき、
＞定数a、bの値を求めよ。
ｆ'（ｘ）＝３ａｘ^2－６ａｘ＝３ａｘ（ｘ－２）ｆ’（ｘ）＝０とおくと、ｘ＝０，２
増減表により、（自分で作って下さい）
極値を求め、区間の端の値を求めて、最大値、最小値について調べます。
最大値の候補は、ｘ＝０と３のとき、
ｘ＝３のとき、ｆ（３）＝ｂ
ｘ＝０のとき、極大値ｆ（０）＝ｂ　どちらも同じ値だから最大値ｂ＝９
最小値の候補は、ｘ＝－２と２のとき、
ｘ＝２のとき、極小値　ｆ（２）＝－４ａ＋ｂ＝－４ａ＋９
ｘ＝－２のとき、ｆ（－２）＝－２０ａ＋ｂ＝－２０ａ＋９
ａ＞０だから、最小値は－２０ａ＋９＝－１１より、ａ＝１
よって、ａ＝１，ｂ＝９

＞(2)3次関数y=x^3-3x^2-8x+4と直線y=x+aが異なる3点で交わるような定数aの値の範囲を求めよ。
x^3-3x^2-8x+4＝x+aとおいてから、右辺のｘを移項して、
x^3-3x^2-9x+4＝a
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ^3－３ｘ^2－９ｘ＋４とｙ＝ａの交点の数について調べます。
ｆ'（ｘ）＝３ｘ^2－６ｘ－９
＝３（ｘ＋１）（ｘ－３）　ｆ'（ｘ）＝０より、ｘ＝－１，３
増減表により、
ｘ＝－１のとき、極大値ｆ（－１）＝９
ｘ＝３のとき、　極小値ｆ（３）＝－２３
ｙ＝ａのグラフと異なる３個の点で交わるのは、極小値から極大値までの間だから、
求めるａの値は、－２３＜ａ＜９
グラフを描いても分かりますが、増減表の様子から分かります。