数IIの座標の問題で解法の意味が分かりません・・・

質問

問題）
a^2x^2+b^2y^2≦1・・・(1)を満たす（ｘ、ｙ）が全て、a(x-1)+b(y-1)≦0・・・(2)を満たすような（a,b)の範囲を求めよ

という問題に対して解法の流れは次のようになっています。

解法の流れ）
X=ax, Y=by・・・（*）と置くと、(1)はX^2+Y^2≦1・・・(3)、(2)はX+Y≦a+b・・・(4)となり、

i)a≠0かつb≠0のとき、
　　任意のX,Yに対して（*）を満たす実数（ｘ、ｙ）が存在するので、(3)を満たす（X,Y）が全て(4)を満たすような（a,b）の範囲を求めればいい。
ii)a=0かつb≠0のとき
　　X=０であり、任意の実数Yに対して（*）を満たす実数ｙが存在するので、(3)を満たす（０,Y）が全て(4)を満たすような（a,b）の範囲を求めればいい。
iii)a≠0かつb=0のとき
　　ii)と同様に。（以下略）
iv)a=0かつb=0のとき
　　明らかに成り立つ。

と場合分けをして求めています。

ここで、質問です。

まず、問題にある、「(1)を満たす（ｘ、ｙ）」が解法では実数となっており、
また(a,b)も実数となっていますが、どうして実数と分かるのでしょうか？

次に、X=ax、Y=by（*）と置き換えたことで、
(1)を満たす（ｘ、ｙ）⇔（場合分け(i)にあるように）「任意のX,Yに対して（*）を満たす実数（ｘ、ｙ）が存在するので」、
となるのはどうしてでしょうか？
（ｘ、ｙ）や(a,b）が実数だとして読み進めると、
(1)かつ（*）を満たす実数（ｘ、ｙ）に対して実数（X,Y）が存在するので、(3)⊆(4)を満たす（a,b）の範囲を求めればよい、という展開にはならないでしょうか？？

最後に、X=ax、Y=by（*）と置き換えた（X,Y）について、実数だとして、（X,Y）の存在条件を示さなくていいのでしょうか？？

以上、質問３つです。頭が混乱していて変な質問しているかもしれません。
X,Yと置き換えたことで、どう求めたらいいのか分からなくなってしまったことが原因です・・；
よろしくお願いします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞どうして実数と分かるのでしょうか？

a、x、b、y　が実数でない、つまり虚数の時　等号はともかく、(高校数学で)不等号が成立するか？

＞(1)かつ（*）を満たす実数（ｘ、ｙ）に対して実数（X,Y）が存在するので、(3)⊆(4)を満たす（a,b）の範囲を求めればよい、という展開にはならないでしょうか？？

X^2+Y^2≦1・・・(3)、(2)はX+Y≦a+b‥‥(4)　
原点を中心とする単位円の周上及び内部の点(Ｘ、Ｙ)に対して、直線：X+Y＝a+b　を満たす実数(Ｘ、Ｙ)が存在するためには、どうなれば良いんだ？

＞最後に、X=ax、Y=by（*）と置き換えた（X,Y）について、実数だとして、（X,Y）の存在条件を示さなくていいのでしょうか？？

置き換えた（X,Y）は常に実数である事が保障されており、and、Xとax、Yとby　は1対1に対応している。
X+Y＝x、xY=y　と置き換えたなら、実数である事を保障するために判別式が必要だが。

お礼

ありがとうございます、整理できました。

回答No.1

akeshigsb

わかる範囲でお答えします。

まず、問題にある、「(1)を満たす（ｘ、ｙ）」が解法では実数となっており、
また(a,b)も実数となっていますが、どうして実数と分かるのでしょうか？
　―（１）の右辺が１になってますよね。すると左辺も実数になりますよね。（虚数や複素数には大小比較の概念はありません）そのためa^2x^2もb^2y^2も実数ととらえるのでしょう。勿論、a^2x^2が１＋iでb^2y^2が１－iでも不等号は成り立ちa、bは実数でなくおかしくなりますが…。

(1)を満たす（ｘ、ｙ）⇔（場合分け(i)にあるように）「任意のX,Yに対して（*）を満たす実数（ｘ、ｙ）が存在するので」、
となるのはどうしてでしょうか？
　－X=ax, Y=by・・・（*）と置くと　　このように自分で定義してるので当然こうなります。最も十すという前提が伴いますが…。

（ｘ、ｙ）や(a,b）が実数だとして読み進めると、
(1)かつ（*）を満たす実数（ｘ、ｙ）に対して実数（X,Y）が存在するので、(3)⊆(4)を満たす（a,b）の範囲を求めればよい、という展開にはならないでしょうか？？
　－結論的にはそうですが一気にやるのは非常に難しいです。また範囲分けしない方法を私は知りませ　　　ん。図などを書くと何となく０の設定が必要だとわかると思います。
　　ちなみに「(3)⊆(4)」は反対でないでしょうか？求めるのはabの範囲ですから。

最後に、X=ax、Y=by（*）と置き換えた（X,Y）について、実数だとして、（X,Y）の存在条件を示さなくていいのでしょうか？？
　－必要です。

正直実数であることの記載は必要な気がします。もし可能ならこの問題の出典元を教えていただけないでしょうか？

補足

解答ありがとうございます(><)、
出典は、今月号７月の大学への数学の月刊誌、P3の問題です。
雲先生の特集ページです。