微分方程式

質問

(1-y^2)dx=y(1-x)dyの解のうち、解曲線が閉曲線となるような解を示す問題で
答えは（x-1)^2/a^2 +y^2=1　の楕円
でした。
導出を教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1-y^2)dx=y(1-x)dy
変数分離して
dx/(1-x)=ydy/(1-y^2)
dx/(x-1)=(1/2)(1/(y-1)+1/(y+1))dy
積分して
ln|x-1|+C1=(1/2)ln|(y-1)(y+1)|
ln(C2(x-1)^2)=ln|(y-1)(y+1)|,C2=e^(2C1)>0
C2(x-1)^2=±|y^2-1|
C2(x-1)^2=y^2-1 or C2(x-1)^2=1-y^2
C2(x-1)^2=y^2-1(C2>0) …これは双曲線で閉曲線ではないので不適。
C2(x-1)^2+y^2=1 (C2>0)…これは楕円で閉曲線で適する。
C2=1/a^2(a>0)とおけば
(x-1)^2/a^2 +y^2=1 (a>0) ←　答え

お礼

丁寧にありがとうございました

回答No.1

spring135

(1-y^2)dx=y(1-x)dy

より変数分離して

dx/(x-1)=ydy/(y^2-1)

両辺積分して

log(x-1)=(1/2)log(y^2-1)+c　　

右辺が思いつかなければ、微分して元に戻ることを確認してください。

Cは積分定数。条件に合わせて決める。

2log(x-1)-log(y^2-1)=2C

(x-1)^2/(y^2-1)=C'

(x-1)^2/C'=y^2-1

C'=-a^2とすると

(x-1)^2/a^2+y^2=1

お礼

ありがとうございました