微分方程式

質問

(x-2y)+(2x-y)(dy/dx)=0[y(0)=2]
の一般解を教えてください。
お願いします。

回答No.2

FT56F001 · ベストアンサー

> (x-2y)+(2x-y)(dy/dx)=0[y(0)=2]

結構，難しい。
まず，dy/dxについて解く。
dy/dx=(x-2y)/(y-2x)

ここで，y=x*f(x)と置き換えます。
d(x*f(x))/dx=f(x)+x*f'(x)=(x-2x*f(x))/(x*f(x)-2*x)=(1-2f(x))/(f(x)-2)
x*f'(x)=(1-2f(x))/(f(x)-2)-f(x)=(1-f(x)^2)/(f(x)-2)

f(x)=fと略記して変数分離します。
(f-2)/(1-f^2)df=dx/x
左辺を部分分数展開して積分する。
∫{(-1/2)/(1-f)+(-3/2)/(1+f)}df=∫dx/x

両辺を積分すると
(1/2)log(1-f)-(3/2)log(1+f)=log(x)+C'
(1-f)/(1+f)^3=C*x^2

ここでf=y/xに戻す。
(x-y)/(x+y)^3=C
これが一般解です(陰関数ですが)

初期条件x=0のときy=2を代入すると，
C=-1/4
よって，
4x-4y+(x+y)^3=0
が微分方程式の答え(陰関数表現)です。

なお，この関数はx=2/√27=0.3849になると
2x-y=0となってy'=∞になり，
微分方程式として解けなくなる特異点にぶつかります。

回答No.4

FT56F001

#2の補足，媒介変数表示
どうせ陰関数になってしまうので，媒介変数表示にしてみます。

> (x-2y)+(2x-y)(dy/dx)=0[y(0)=2]
より変数分離して，
(x-2y)dx+(2x-y)dy=0
dx/(2x-y)=dy/(2y-x)=dt
と媒介変数tを導入します。

dx/dt=2x-y
dy/dt=2y-x
と連立線形微分方程式になりました。

固有値は1,3なので，この解は
x(t)=A*exp(t)-B*exp(3t)
y(t)=A*exp(t)+B*exp(3t)
とおけます。

x=0のときのy(0)の値が指定されているので，
t=0のときx=0とすべく，A=B=y(0)/2とおきます。

元の微分方程式の解の媒介変数表示として，
x(t)=y(0)*{exp(t)-exp(3t)}/2
y(t)=y(0)*{exp(t)+exp(3t)}/2
を得ます。

こちらの方が，x-yのグラフを書く時に使いやすいかもしれません。

元の微分方程式ではx=0,y=0のときy'が決まらない特異点になりますが，
媒介変数表示を見るとt->-∞ですべての解が寄ってくる点になっており，
その特異性がわかります。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

info22_

#1です。

A#1は
>(x-2y)+(2x-y)(dy/dx)=0[y(0)=2]
これを
(x-2y)(2x-y)(dy/dx)=0[y(0)=2]
と見誤っておりましたので、削除したいところですが
不可能なので、無視して下さい。早とちりでした。

他の方が回答されているようなのでそちらをご覧下さい。

失礼しました。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

info22_

y=x/2 or y=2x or dy/dx=0
前の２つは y(0)=2　を満たさない。
dy/dx=0から
y=c
初期条件y(0)=2から
c=2
∴y=2