微分方程式

質問

dy/dx=x^2+y^2の解はどう解けばよいのですか？
x^2*y^2なら解けるのですが、全くわかりません。
手計算でとけるのですか？

回答No.1

marsmaru · ベストアンサー

Riccati型
dy/dx + P(x)y = Q(x)y^2 + R(x)

の,P(x)=0,Q(x)=1,R(x)=x^2のときですね.
まず,この微分方程式の特解を求めましょう.（何でもいいです）
ヒント：yがxのn次の式としたとき,左辺はn-1次,右辺は2n次です.これらが同じとなるのは,n=-1のときです.

次に,この特解をy0(x)とすると,y=z+y0として,元の式に代入します.
すると,
dz/dx-2y0z=z^2
となり,Bernoulli型に帰着されます.

Bernoulli型
dz/dx + S(x)z(x) = T(x)z^n(x)

今度は,u(x)=z^(1-n)(x)とおいて解きます.
あとは普通にやれば解けると思います.

回答No.2

DC1394

#1様の言うとおり、この微分方程式はRiccati（リカッティ）の微分方程式と呼ばれています。

特解が見つかれば#1様の方針でBernoulli（ベルヌーイ）型の微分方程式に帰着できるのですが、
いつも特解が見つかるとは限りません。

実は、このRiccati（リカッティ）の微分方程式は適当な変換により、
2階の線形微分方程式に帰着されます。
（​http://www.ht.sakura.ne.jp/~delmonta/alte/Mathematikwissenschaft2/1...​の1.5参照）

つまり、次のような微分方程式に帰着されるのですが、
d^2u/dx^2+p(x)du/dx+q(x)u=r(x)
で、
この場合、p(x),q(x)が定数でなければ（特別な場合を除いて）初等関数（x^n,sin,cos,tan,log,expなど）の組み合わせで表すことは不可能です。

この微分方程式の解き方は（​http://www.ht.sakura.ne.jp/~delmonta/alte/Mathematikwissenschaft2/3...​参照）

実際に誰か高名な数学者がdy/dx=x^2+y^2をこの方法で解いたらしいです。

参考URL：

http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=912012