統計学について

質問

統計学の問題です。(1)はできたのですが、(2)(3)ができなくて困っています。解答、解説をよろしくお願いします。問題は以下です。
確率変数X、Yは独立でポアソン分布Po(λ),Po(μ)に従うとする。
(2)正の整数nに対して、X+Y=nが与えられた条件の下でX=r(r=0,1,・・・,n)である確率P(X=r | X+Y=n)を求めよ。
(3)X+Y=nが与えられた条件の下でのXの条件付き分布はどのような分布か。そのときの条件付き平均、条件付き分散を求めよ。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(2)
(r=0,1,…,n)に対して
nCr=n!/{r!(n-r)!}
とすると2項定理から
(μ+λ)^n=Σ_{r=0～n}(nCr)(λ^r)(μ^{n-r})…[1]
Xはポアソン分布Po(λ)に従うから
P(X=r)=e^{-λ}λ^r/r!…………[2]
Yはポアソン分布Po(μ)に従うから
P(Y=n-r)=e^{-μ}μ^{n-r}/(n-r)!
これに[2]を掛けると
P(X=r)P(Y=n-r)
=e^{-λ-μ}(λ^r)(μ^{n-r})/{r!(n-r)!}
=e^{-λ-μ}(nCr)(λ^r)(μ^{n-r})/n!…………[3]
[3],[1]から
P(X+Y=n)
=Σ_{r=0～n}P(X=r)P(Y=n-r)
=e^{-λ-μ}Σ_{r=0～n}(nCr)(λ^r)(μ^{n-r})/n!
=e^{-λ-μ}{(μ+λ)^n}/n!
これで[3]を割ると
P(X=r|X+Y=n)
=P(X=r)P(Y=n-r)/P(X+Y=n)
=[n!/{r!(n-r)!}](λ^r)(μ^{n-r})/(μ+λ)^n
=(nCr)(λ^r)(μ^{n-r})/(μ+λ)^n

(3)
p=λ/(μ+λ)
とすると
0<p<1
P(X=r|X+Y=n)=(nCr)(p^r)(1-p)^{n-r}
F(x)=P(X<x|X+Y=n)=Σ_{k<x}(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}
∴
X+Y=nが与えられた条件の下でのXの条件付き分布は
2項分布である

k(nCk)=kn!/{k!(n-k)!}=kn(n-1)!/[k(k-1)!{n-1-(k-1)}!]=n{(n-1)C(k-1)}
だから
EX=Σ_{k=1～n}k(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}
=npΣ_{k=1～n}{(n-1)C(k-1)}(p^{k-1})(1-p)^{(n-1)-(k-1)}
=npΣ_{j=1～n-1}{(n-1)Cj}(p^j)(1-p)^{(n-1)-j}
=np
=nλ/(μ+λ)
∴平均は
nλ/(μ+λ)

k(k-1)(nCk)
=k(k-1)n!/{k!(n-k)!}
=k(k-1)n(n-1)(n-2)!/[k(k-1)(k-2)!{n-2-(k-2)}!]
=n(n-1)(n-2)!/[(k-2)!{n-2-(k-2)}!]
=n(n-1){(n-2)C(k-2)}
だから
EX^2=Σ_{k=1～n}(k^2)(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}
=Σ_{k=1～n}k(k-1)(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}+Σ_{k=1～n}k(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}
=n(n-1)p^2Σ_{k=2～n}{(n-2)C(k-2)}(p^{k-2})(1-p)^{n-2-(k-2)}+np
=n(n-1)p^2Σ_{j=0～n-2}{(n-2)Cj}(p^j)(1-p)^{n-2-j}+np
=n(n-1)p^2+np
↓
VX=E(X-EX)^2
=EX^2-(EX)^2
=n(n-1)p^2+np-(np)^2
=np(1-p)
=nλμ/(μ+λ)
∴分散は
nλμ/(μ+λ)

お礼

本当に、ありがとうございます。