統計物理に関する質問

質問

統計物理の問題でどうしてもわからない問題があります。
非常に初歩的な問題かもしれませんが、ご指摘よろしくお願いします。

問題は、『スピン１／２のＮ個の粒子を考える。スピンが上を向く確率をｐとするとき、磁気モーメントのゆらぎ<(ΔＭ)**2>はいくらになるか。ただし、Ｎ個の粒子は統計的に独立であるとし、１粒子の磁気モーメントの大きさをｍとする。』というものです。

私のやり方は以下の通りです。
(1)簡単のため、１粒子系を考えました。
確率ｐが与えられているので、磁気モーメントの平均値を
<M>= mp + (-m)(1-p)
<M**2> = (mp)**2 + {(-m)(1-p)}**2
と求め、ゆらぎを
<(ΔM)**2> = <M**2> - <M>**2 = 2p(1-p)m**2
と求めました。
しかし、これをＮ粒子系に拡張することがどうしてもできません。
（２）キッテルの「熱物理学」の第１章では、
Ｎ数を、アップスピンの数とダウンスピンの数に分けて、両者の差（スピン差）を2sとおいて、状態数（ガウス分布になる）を計算し、'<(2s)**2>=N'と求めていました。正味の磁気モーメントは2smなので、
<(ΔＭ)**2> = <(2sm)**2> - <2sm>**2 = Nm**2 　？？？
これでは、確率ｐが一切考慮されていません。
◆ちなみに、解答は4Np(1-p)m**2です。

ここでお願いです。私のやり方の誤りは何なのか、
どのような対処をするべきなのか、ご指摘をお願いします。

回答No.2

gontarohk · ベストアンサー

#1です。独立なN粒子系の取り扱いを簡単に書きすぎました。
N個の粒子のうちｎ個が上向き、(N-n)個が下向きの確率は
　NCn p**n (1-p)**(N-n)
ですね。ここでNCn はN個の粒子からn個を選ぶ組み合わせの数です。
このときの磁気モーメントMは　m{n-(N-n)}で　
M**2は｛n{n-(N-n)}｝**2
ですから、確率を掛けて、nを０からNまで和をとってください。

お礼

ご指摘通りに計算したら、きちんと正解が得られました。
二項定理の期待値や分散に関する‘あらたな知識’を得るきっかけにもなりました。
丁寧なご指摘、どうもありがとうございました。

回答No.1

gontarohk

<M**2> = (mp)**2 + {(-m)(1-p)}**2
は間違いだと思いますよ。<M**2>はM**2の平均値ですから
<M**2> =(m)**2 *p + (-m)**2 *(1-p) =m**2
となり、
<(ΔM)**2> = <M**2> - <M>**2 = 4p(1-p)m**2
となります。

これは１粒子の磁気モーメントの分散ですが、独立なN粒子の分散ですから、単純にこれのN倍になるのではないでしょうか。（ここの部分は統計学の理論で調べてみてください。）

お礼

ゆらぎについて誤解をしていたのですね。
ご指摘ありがとうございます。