統計学について

質問

「t分布の自由度が高いと標準正規分布とほぼ同じとみなせる」のは、例えば
t（自由度N－1）=標準正規分布に従う変数／【（N－1）S＾2／σ＾2×1／（N－1）】の平方根
（S＾2は不偏分散、σ＾2は母分散）
という式で考えた場合、自由度が高いとSとσがほぼ同じで、上記の式の分母がほぼ1になり、分子のみ残るから、という理解でよいでしょうか？
また、「サンプルサイズが大きくなると標本標準偏差が母標準偏差に近づく」と本に書いてありますが、この場合の標本標準偏差は偏差平方和をNで割って求めたものと、N－1で割って求めたものの、どちらの分散から計算されたと理解したらよいでしょうか？
宜しくお願い致します。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

（ご質問１）
「自由度が高いとSとσがほぼ同じで、上記の式の分母がほぼ1になり、分子のみ残るから、という理解でよいでしょうか？」

（答）
本質的にはその理解で正しいと思います。ただ、自由度をN-1としたら、【（N－1）S＾2／σ＾2×1／（N－1）】の部分は、【NS＾2／σ＾2×1／N】としたほうが分かりやすいと思います。厳密に言うと、次のようになります。

X1, …,XNを独立で平均μ、分散σ^2の正規分布に従う確率変数とします。さらに、

　　Xbar = (X1+ … + XN) / N
　　S^2 =( (X1-Xbar)^2 + … +(XN-Xbar)^2) / (N-1)
　　Y = (Xbar-μ) / (σ/N^0.5)
　　T = (Xbar-μ)/ (S/N^0.5)

とします。すると、確率変数Yは、標準正規分に従います。また、確率変数Tの分布を「自由度N-1のt分布」と言います。これをt分布の定義とみなして差し支えありません。

　　T = Y × (σ/S)

で、N→∞のとき、Sはσに概収束するので、σ/Sは1に概収束し、TはYに概収束します。したがって、Tの分布はYの分布（＝標準正規分布）に収束します。

なお、「概収束」という言葉になじみがないかもしれません。確率変数の「収束」には、いくつかの異なる概念があり、概収束というのは、そのうちの一種類です。

（ご質問2）
「標本標準偏差は偏差平方和をNで割って求めたものと、N－1で割って求めたものの、どちらの分散から計算されたと理解したらよいでしょうか？」

(答）
t分布の定義に従うなら、N-1で割ったものです。ただ、「Nが大きいとき正規分布に近づく」という意味では、どちらでも同じことです。どうせ、N→∞のとき、N/(N-1)は1に収束しますから。

お礼

丁寧なご説明有難うございました。「概収束」という言葉は全く知らず大変参考になりました。自分なりに調べ、学習したいと思います。